Докажите, что для любых значений k справедливо неравенство k^2 - 1 <= k(1 + 5k) - 5k.

Алгебра 8 класс Неравенства алгебра 8 класс неравенства доказательство неравенства квадратные выражения решение неравенств Новый

Чтобы доказать, что для любых значений k справедливо неравенство k^2 - 1 ≥ 0, мы можем рассмотреть это неравенство более подробно.

Неравенство k^2 - 1 ≥ 0 можно переписать в виде:

k^2 ≥ 1

Теперь давайте проанализируем, когда это неравенство выполняется. Сначала заметим, что k^2 всегда неотрицательно, поскольку квадрат любого числа (положительного или отрицательного) не может быть отрицательным.

Теперь рассмотрим два случая:

1. k ≥ 1: Если k больше или равно 1, то k^2 будет больше или равно 1, так как квадрат числа больше или равного 1 всегда больше или равен 1.
2. k ≤ -1: Если k меньше или равно -1, то k^2 также будет больше или равно 1, потому что квадрат отрицательного числа (по модулю больше или равного 1) также будет положительным и больше или равным 1.

Таким образом, в обоих случаях (k ≥ 1 и k ≤ -1) неравенство k^2 ≥ 1 выполняется.

Теперь рассмотрим случай, когда -1 < k < 1. В этом интервале k^2 будет меньше 1, так как квадрат любого числа, находящегося в этом диапазоне, меньше 1. Например:

• Если k = 0.5, то k^2 = 0.25 < 1.
• Если k = -0.5, то k^2 = 0.25 < 1.

Таким образом, в этом случае неравенство k^2 - 1 < 0. Это показывает, что неравенство k^2 - 1 ≥ 0 не выполняется для всех значений k.

В заключение, можно сказать, что неравенство k^2 - 1 ≥ 0 выполняется только для значений k, которые меньше или равны -1 или больше или равны 1. Для значений k в интервале (-1, 1) это неравенство не выполняется.