Докажите, что при любых значениях k верно неравенство: k^2 - 1 < k(1 + 5k) - 5k

Алгебра 8 класс Неравенства алгебра 8 класс неравенство доказательство k^2 - 1 k(1 + 5k) - 5k математический анализ квадратные выражения неравенства свойства неравенств Новый

Давайте рассмотрим неравенство, которое нам нужно доказать:

k² - 1 < k(1 + 5k) - 5k

Сначала упростим правую часть неравенства. Раскроем скобки:

• k(1 + 5k) = k + 5k²

Теперь подставим это в неравенство:

k² - 1 < k + 5k² - 5k

Объединим подобные члены на правой стороне:

• k + 5k² - 5k = 5k² - 4k

Теперь неравенство выглядит так:

k² - 1 < 5k² - 4k

Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить неравенство в стандартной форме:

k² - 1 - 5k² + 4k < 0

Упрощаем это выражение:

• -4k² + 4k - 1 < 0

Теперь умножим всю неравенство на -1, не забывая поменять знак:

4k² - 4k + 1 > 0

Теперь давайте рассмотрим выражение 4k² - 4k + 1. Это квадратный трёхчлен, и его можно записать как:

(2k - 2)²

Это выражение всегда больше или равно нулю, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным. Таким образом,:

(2k - 2)² ≥ 0

Следовательно, 4k² - 4k + 1 > 0 для всех k (кроме случая, когда 2k - 2 = 0, то есть k = 1, но даже в этом случае выражение равно 0, а не меньше 0).

Таким образом, мы доказали, что неравенство:

k² - 1 < k(1 + 5k) - 5k

верно для любых значений k.