Докажите, что при условии a + b = 1, выполняется неравенство a² + b² >= 1/2.

Алгебра 8 класс Неравенства алгебра 8 класс неравенство доказательство a + b = 1 a² + b² математический анализ свойства неравенств Новый

Давайте докажем неравенство a² + b² >= 1/2 при условии, что a + b = 1.

Сначала воспользуемся известной формулой для суммы квадратов:

• a² + b² = (a + b)² - 2ab.

Так как a + b = 1, подставим это значение в формулу:

• a² + b² = 1² - 2ab = 1 - 2ab.

Теперь нам нужно показать, что:

• 1 - 2ab >= 1/2.

Перепишем это неравенство:

• 1 - 1/2 >= 2ab.

Упростим его:

• 1/2 >= 2ab.

Разделим обе стороны на 2:

• 1/4 >= ab.

Теперь нам нужно доказать, что ab <= 1/4 при условии a + b = 1. Для этого воспользуемся неравенством Коши-Буняковского, которое утверждает, что для любых неотрицательных a и b выполняется следующее:

• (a + b)² >= 4ab.

Так как a + b = 1, подставим в неравенство:

• 1² >= 4ab.

Это означает:

• 1 >= 4ab.

Разделим обе стороны на 4:

• 1/4 >= ab.

Таким образом, мы доказали, что ab <= 1/4. Теперь мы можем завершить доказательство:

Мы вернулись к нашему неравенству:

• 1 - 2ab >= 1/2.

Поскольку ab <= 1/4, то:

• 2ab <= 2 * 1/4 = 1/2.

Следовательно:

• 1 - 2ab >= 1 - 1/2 = 1/2.

Таким образом, мы доказали, что a² + b² >= 1/2 при условии a + b = 1.

Ответ: Неравенство a² + b² >= 1/2 выполняется при условии a + b = 1.