Докажите, что выражение 6 в степени n плюс 20n минус 1 делится на 25 для любого натурального n.

Алгебра 8 класс Делимость выражений алгебра 8 класс делимость выражений доказательство делимости натуральные числа свойства степеней математическая индукция Новый

Чтобы доказать, что выражение 6 в степени n плюс 20n минус 1 делится на 25 для любого натурального n, мы будем использовать метод математической индукции.

Шаг 1: База индукции

Начнем с проверки базового случая, когда n = 1:

• Подставим n = 1 в выражение: 6^1 + 20*1 - 1 = 6 + 20 - 1 = 25.
• 25 делится на 25, значит, база индукции верна.

Шаг 2: Индукционное предположение

Теперь предположим, что для некоторого натурального k выражение 6 в степени k плюс 20k минус 1 делится на 25. То есть:

6^k + 20k - 1 = 25m, где m - некоторое целое число.

Шаг 3: Индукционный шаг

Теперь мы должны доказать, что выражение верно и для n = k + 1. Подставим n = k + 1 в выражение:

• 6^(k+1) + 20(k+1) - 1 = 6 * 6^k + 20k + 20 - 1.
• Перепишем это как: 6 * 6^k + 20k + 19.

Теперь воспользуемся индукционным предположением:

• 6 * 6^k + 20k + 19 = 6 * (6^k + 20k - 1) + 6 + 19.
• По индукционному предположению, 6^k + 20k - 1 делится на 25, значит, 6 * (6^k + 20k - 1) также делится на 25.
• Теперь нам нужно проверить, делится ли 6 + 19 на 25:
• 6 + 19 = 25, что также делится на 25.

Таким образом, мы доказали, что если выражение верно для n = k, то оно также верно для n = k + 1.

Шаг 4: Заключение

Мы проверили базу индукции и провели индукционный шаг. Следовательно, по принципу математической индукции, выражение 6 в степени n плюс 20n минус 1 делится на 25 для любого натурального n.