Давайте обозначим время, необходимое первой машинистке для перепечатки рукописи в днях, как x. Тогда время, необходимое второй машинистке, будет x + 7 дней.

Теперь мы можем найти, сколько работы выполняет каждая машинистка за один день:

• Первая машинистка выполняет 1/x рукописи в день.
• Вторая машинистка выполняет 1/(x + 7) рукописи в день.

Первая машинистка работала 7 дней, поэтому за это время она выполнила:

7 * (1/x) = 7/x рукописи.

После этого к ней присоединилась вторая машинистка, и они вместе работали еще 8 дней. За это время они выполнили:

8 * (1/x + 1/(x + 7)) = 8 * (1/x + 1/(x + 7)) рукописи.

Таким образом, общее количество выполненной работы равно 1 (вся рукопись). Мы можем записать уравнение:

7/x + 8 * (1/x + 1/(x + 7)) = 1.

Теперь давайте упростим это уравнение:

Сначала упростим вторую часть:

8 * (1/x + 1/(x + 7)) = 8/x + 8/(x + 7).

Теперь подставим это в уравнение:

7/x + 8/x + 8/(x + 7) = 1.

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

(7 + 8)/x + 8/(x + 7) = 1.

Это дает:

15/x + 8/(x + 7) = 1.

Теперь умножим все уравнение на x(x + 7), чтобы избавиться от дробей:

15(x + 7) + 8x = x(x + 7).

Раскроем скобки:

15x + 105 + 8x = x^2 + 7x.

Соберем все члены в одну сторону:

x^2 + 7x - 23x - 105 = 0.

Это упрощается до:

x^2 - 16x - 105 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 * 1 * (-105) = 256 + 420 = 676.

Теперь находим корни уравнения:

x = (16 ± √676) / 2.

Так как √676 = 26, получаем:

x = (16 + 26) / 2 = 21 и x = (16 - 26) / 2 = -5.

Поскольку время не может быть отрицательным, принимаем x = 21.

Теперь мы можем найти время, необходимое второй машинистке:

x + 7 = 21 + 7 = 28.

Таким образом, первая машинистка могла бы перепечатать рукопись за 21 день, а вторая - за 28 дней.