Если диагональ прямоугольника равна 5 см, а его площадь составляет 12 см², каким образом можно определить длины сторон этого прямоугольника?

Алгебра 8 класс Системы уравнений диагональ прямоугольника площадь прямоугольника длины сторон прямоугольника алгебра 8 класс задачи по алгебре Новый

Для решения задачи о нахождении длин сторон прямоугольника, зная его диагональ и площадь, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Обозначим стороны прямоугольника: Пусть длины сторон прямоугольника равны a и b.
2. Используем формулы:
   • Площадь прямоугольника: S = a * b = 12 см².
   • Длина диагонали: d = √(a² + b²) = 5 см.
3. Составим систему уравнений:
   • Первое уравнение: a * b = 12.
   • Второе уравнение: a² + b² = 5² = 25.
4. Выразим одну из переменных через другую: Из первого уравнения можно выразить b:
   • b = 12/a.
5. Подставим b во второе уравнение:
   • Подставляем b = 12/a в уравнение a² + b² = 25:
   • a² + (12/a)² = 25.
   • Это уравнение можно записать как a² + 144/a² = 25.
6. Умножим всё уравнение на a², чтобы избавиться от дроби:
   • a^4 - 25a² + 144 = 0.
7. Обозначим x = a²: Тогда уравнение принимает вид:
   • x² - 25x + 144 = 0.
8. Решим квадратное уравнение: Используем дискриминант:
   • D = b² - 4ac = (-25)² - 4 * 1 * 144 = 625 - 576 = 49.
   • Корни уравнения: x = (25 ± √49) / 2 = (25 ± 7) / 2.
9. Находим корни:
   • x₁ = (32) / 2 = 16,
   • x₂ = (18) / 2 = 9.
10. Вспоминаем, что x = a²:
    • Если x₁ = 16, то a = √16 = 4.
    • Если x₂ = 9, то a = √9 = 3.
11. Находим b:
    • Если a = 4, то b = 12/4 = 3.
    • Если a = 3, то b = 12/3 = 4.

Ответ: Длины сторон прямоугольника равны 3 см и 4 см.