Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см. Как найти его катеты, если один из них на 4 см больше другого?

Алгебра 8 класс Системы уравнений алгебра 8 класс гипотенуза прямоугольный треугольник катеты задача решение математическая задача Теорема Пифагора длина катетов уравнение алгебраические выражения Новый

Чтобы найти катеты прямоугольного треугольника, когда известна длина гипотенузы и есть условие о соотношении катетов, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора и уравнениями для решения системы. В нашем случае гипотенуза равна 20 см, а один из катетов на 4 см больше другого.

Обозначим длину меньшего катета через x. Тогда больший катет можно выразить как x + 4.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

x^2 + (x + 4)^2 = 20^2

Теперь решим это уравнение шаг за шагом:

1. Сначала найдем квадрат гипотенузы:
20^2 = 400
2. Теперь подставим это значение в уравнение:
x^2 + (x + 4)^2 = 400
3. Раскроем скобки:
• (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16
4. Теперь у нас есть:
x^2 + x^2 + 8x + 16 = 400
5. Сложим подобные слагаемые:
2x^2 + 8x + 16 = 400
6. Переносим 400 в левую часть уравнения:
2x^2 + 8x + 16 - 400 = 0
7. Упростим уравнение:
2x^2 + 8x - 384 = 0
8. Делим всё уравнение на 2 для упрощения:
x^2 + 4x - 192 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя дискриминант:

Дискриминант D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * (-192) = 16 + 768 = 784.

Теперь находим корни уравнения:

x = (-b ± √D) / 2a = (-4 ± √784) / 2.

Корень из 784 равен 28, поэтому:

x = (-4 + 28) / 2 = 12 см (положительное значение),

x = (-4 - 28) / 2 = -16 см (отрицательное значение не подходит).

Таким образом, меньший катет равен 12 см. Теперь находим больший катет:

Больший катет = x + 4 = 12 + 4 = 16 см.

Итак, катеты нашего треугольника равны 12 см и 16 см.

Таким образом, мы нашли катеты прямоугольного треугольника, где один катет на 4 см больше другого, и длина гипотенузы равна 20 см.