Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. Сопряжённое выражение для дроби имеет ту же составляющую, но с противоположным знаком перед корнем. Давайте рассмотрим каждый из ваших примеров по порядку.

В этом случае мы можем умножить числитель и знаменатель на √3:

1. Умножаем: (1 * √3) / (√3 * √3) = √3 / 3.

Таким образом, дробь 1/√3 преобразуется в √3/3.

Здесь мы умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к знаменателю, то есть на (√10 + √8):

1. Умножаем: ((√10 + √8) * (√10 + √8)) / ((√10 - √8) * (√10 + √8)).
2. В числителе: (√10 + √8)² = (√10)² + 2 * √10 * √8 + (√8)² = 10 + 2√80 + 8 = 18 + 4√5.
3. В знаменателе: (√10)² - (√8)² = 10 - 8 = 2.

Теперь дробь выглядит так: (18 + 4√5) / 2. Мы можем упростить её, разделив каждый элемент на 2:

1. (18/2) + (4√5/2) = 9 + 2√5.

Таким образом, (√10 + √8) / (√10 - √8) преобразуется в 9 + 2√5.

В этом случае мы также умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, то есть (5 + √5):

1. Умножаем: (1 * (5 + √5)) / ((5 - √5) * (5 + √5)).
2. В числителе: 5 + √5.
3. В знаменателе: (5)² - (√5)² = 25 - 5 = 20.

Теперь дробь выглядит так: (5 + √5) / 20. Мы можем упростить её, разделив каждый элемент на 20:

1. (5/20) + (√5/20) = 1/4 + √5/20.

Таким образом, 1/(5 - √5) преобразуется в 1/4 + √5/20.

В итоге, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. Это позволяет получить выражение без корней в знаменателе.