Как можно доказать, что сумма двух положительных взаимно обратных чисел всегда не меньше 2?

Алгебра 8 класс Неравенства доказательство суммы двух положительных чисел взаимно обратные числа сумма не меньше 2 свойства взаимно обратных чисел алгебра 8 класс Новый

Чтобы доказать, что сумма двух положительных взаимно обратных чисел всегда не меньше 2, давайте обозначим эти числа как x и y. Взаимно обратные числа означают, что их произведение равно 1, то есть:

xy = 1

Теперь мы хотим рассмотреть сумму этих чисел:

S = x + y

Для удобства мы можем выразить y через x, используя уравнение xy = 1:

y = 1/x

Теперь подставим это выражение в сумму S:

S = x + 1/x

Теперь нам нужно доказать, что S всегда больше или равно 2 для положительных x. Для этого мы можем использовать метод, называемый неравенством Коши-Буняковского, или просто применить производную.

1. **Использование производной:**

1. Рассмотрим функцию f(x) = x + 1/x.
2. Найдём производную этой функции: f'(x) = 1 - 1/x^2.
3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
4. 1 - 1/x^2 = 0 => 1/x^2 = 1 => x^2 = 1 => x = 1 (поскольку x положительное).

2. **Определим поведение функции:**

1. Теперь исследуем, что происходит с f(x) на интервале (0, +∞):
2. Для x < 1, f'(x) < 0, значит, функция убывает.
3. Для x > 1, f'(x) > 0, значит, функция возрастает.
4. Таким образом, x = 1 — это минимум функции.

3. **Найдем значение функции в критической точке:**

f(1) = 1 + 1/1 = 2.

Таким образом, мы можем заключить, что:

S = x + y >= 2 при любых положительных взаимно обратных числах x и y.

Таким образом, сумма двух положительных взаимно обратных чисел всегда не меньше 2.