Чтобы доказать неравенство 3x/(9x^3+1) < 1/2, мы начнем с преобразования неравенства. Давайте умножим обе стороны на (9x^3 + 1), но при этом учтем, что (9x^3 + 1) > 0 для всех x, так как 9x^3 всегда неотрицательно и 1 добавляет положительное значение. Таким образом, мы можем переписать неравенство:

3x < (1/2)(9x^3 + 1)

Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

6x < 9x^3 + 1

Теперь перенесем все элементы на одну сторону неравенства:

0 < 9x^3 - 6x + 1

Теперь мы должны доказать, что 9x^3 - 6x + 1 > 0 для всех x.

Для этого рассмотрим функцию:

f(x) = 9x^3 - 6x + 1

Теперь найдем производную этой функции, чтобы определить её поведение:

f'(x) = 27x^2 - 6

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

27x^2 - 6 = 0

Решим это уравнение:

• 27x^2 = 6
• x^2 = 6/27
• x^2 = 2/9
• x = ±√(2/9) = ±√2/3

Теперь мы знаем, что у нас есть две критические точки: x = √2/3 и x = -√2/3. Теперь мы проверим знак функции f(x) на интервалах, которые они определяют:

1. Для x < -√2/3 (например, x = -1):
• f(-1) = 9(-1)^3 - 6(-1) + 1 = -9 + 6 + 1 = -2 < 0
2. Для -√2/3 < x < √2/3 (например, x = 0):
• f(0) = 9(0)^3 - 6(0) + 1 = 1 > 0
3. Для x > √2/3 (например, x = 1):
• f(1) = 9(1)^3 - 6(1) + 1 = 9 - 6 + 1 = 4 > 0

Теперь мы видим, что функция f(x) принимает отрицательные значения на интервале (-∞, -√2/3) и положительные значения на интервалах (-√2/3, √2/3) и (√2/3, +∞).

Таким образом, мы можем заключить, что 9x^3 - 6x + 1 > 0 для всех x >= -√2/3. Это значит, что исходное неравенство 3x/(9x^3 + 1) < 1/2 выполняется для всех x >= -√2/3.

Таким образом, мы доказали, что неравенство 3x/(9x^3 + 1) < 1/2 верно для всех x, кроме интервала (-∞, -√2/3).