Как можно доказать неравенство: 4 - 4/b ≤ b при условии, что b > 0?

Алгебра 8 класс Неравенства доказательство неравенства алгебра 8 класс неравенство 4 - 4/b ≤ b условия b > 0 математические доказательства Новый

Для доказательства неравенства 4 - 4/b ≤ b при условии, что b > 0, мы можем выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим это неравенство более подробно.

1. Переносим все члены неравенства в одну сторону:

Начнем с того, что мы можем переписать неравенство следующим образом:

4 - 4/b - b ≤ 0.

2. Приводим к общему знаменателю:

Чтобы упростить выражение, найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для дроби 4/b и целого числа b будет b:

4 - 4/b - b = (4b - 4 - b^2) / b.

3. Теперь нам нужно доказать, что числитель неотрицателен:

Таким образом, неравенство преобразуется к:

(4b - 4 - b^2) / b ≤ 0.

Так как b > 0, мы можем умножить обе стороны на b, не меняя знак неравенства:

4b - 4 - b^2 ≤ 0.

4. Переписываем неравенство:

Теперь у нас есть:

-b^2 + 4b - 4 ≤ 0.

Это можно переписать как:

b^2 - 4b + 4 ≥ 0.

5. Решаем квадратное неравенство:

Теперь мы можем рассмотреть квадратное уравнение b^2 - 4b + 4 = 0. Найдем его корни:

Дискриминант D = (-4)^2 - 4*1*4 = 16 - 16 = 0.

Поскольку дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:

b = 4 / 2 = 2.

6. Анализируем знак квадратного трёхчлена:

Теперь мы знаем, что парабола, заданная квадратным трёхчленом b^2 - 4b + 4, открыта вверх (коэффициент при b^2 положителен). Она имеет только одну точку касания с осью абсцисс в точке b = 2.

Это означает, что:

• Для b < 2: b^2 - 4b + 4 > 0;
• Для b = 2: b^2 - 4b + 4 = 0;
• Для b > 2: b^2 - 4b + 4 > 0.
7. Вывод:

Таким образом, неравенство b^2 - 4b + 4 ≥ 0 выполняется для всех b > 0, и в частности, для b ≥ 2. Значит, мы доказали, что:

4 - 4/b ≤ b при условии, что b > 0.