Как можно доказать неравенство 4x^2 + y^2 > 4xy - 5?

Алгебра 8 класс Неравенства доказать неравенство алгебра 8 класс 4x^2 + y^2 4xy - 5 решение неравенств математические доказательства Новый

Чтобы доказать неравенство 4x^2 + y^2 > 4xy - 5, начнем с того, что перепишем его в более удобной форме.

Переносим все члены на одну сторону неравенства:

4x^2 + y^2 - 4xy + 5 > 0

Теперь мы можем рассмотреть левую часть неравенства как квадратный trinomial. Для этого сгруппируем некоторые члены:

Обратите внимание, что 4x^2 - 4xy + y^2 можно переписать как:

(2x - y)^2

Таким образом, мы можем переписать неравенство следующим образом:

(2x - y)^2 + 5 > 0

Теперь проанализируем каждую часть:

• (2x - y)^2 - это квадрат, который всегда неотрицателен (то есть больше или равно нулю) для любых значений x и y.
• Следовательно, (2x - y)^2 >= 0.
• Добавляя 5, мы получаем, что (2x - y)^2 + 5 > 0, так как минимальное значение (2x - y)^2 равно 0, и при добавлении 5 оно становится больше 0.

Таким образом, мы доказали, что неравенство 4x^2 + y^2 > 4xy - 5 выполняется для любых значений x и y.