Как можно доказать неравенство (x+y)^2 >= 4xy?

Алгебра 8 класс Неравенства доказательство неравенства алгебра 8 класс неравенство (x+y)^2 методы доказательства неравенств свойства неравенств Новый

Чтобы доказать неравенство (x+y)^2 >= 4xy, мы можем использовать метод разложения на множители и свойства квадратов. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Рассмотрим левую часть неравенства: (x+y)^2. Это выражение можно разложить по формуле квадрата суммы:
• (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.
2. Теперь перепишем неравенство:
• x^2 + 2xy + y^2 >= 4xy.
3. Переносим 4xy в левую часть:
• x^2 + 2xy + y^2 - 4xy >= 0.
• Это можно упростить до:
• x^2 - 2xy + y^2 >= 0.
4. Теперь заметим, что выражение x^2 - 2xy + y^2 является квадратом разности:
• x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2.
5. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, мы имеем:
• (x - y)^2 >= 0.
6. Таким образом, мы доказали, что:
• (x+y)^2 >= 4xy.

Следовательно, неравенство (x+y)^2 >= 4xy верно для всех действительных чисел x и y.