Как можно доказать равенство (√15 + 4) / (4 - √15) = 31 + 8√15?

Алгебра 8 класс Рационализация знаменателя равенство доказательство алгебра 8 класс математические выражения квадратные корни дроби упрощение выражений Новый

Чтобы доказать равенство (√15 + 4) / (4 - √15) = 31 + 8√15, начнем с левой части уравнения и упростим её. Мы будем использовать метод умножения на сопряженное выражение, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

1. Запишем исходное выражение:

   (√15 + 4) / (4 - √15)

2. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

   Сопряженное выражение к (4 - √15) - это (4 + √15).

   Таким образом, мы умножаем:

   (√15 + 4) * (4 + √15) / (4 - √15) * (4 + √15)

3. Упростим знаменатель:

   (4 - √15)(4 + √15) = 4^2 - (√15)^2 = 16 - 15 = 1.

4. Теперь упростим числитель:

   (√15 + 4)(4 + √15) = √15 * 4 + √15 * √15 + 4 * 4 + 4 * √15 = 4√15 + 15 + 16 + 4√15 = 31 + 8√15.

5. Теперь подставим упрощенные части назад:

   (√15 + 4) / (4 - √15) = (31 + 8√15) / 1 = 31 + 8√15.

Таким образом, мы доказали равенство: (√15 + 4) / (4 - √15) = 31 + 8√15.