Похожие вопросы
2025-11-28 16:47:50
Как можно доказать следующее тождество:
- √10+3 / 7+2√3 + √10-3 / 7-2√3 = 14;
- √10-3 / 7-2√3 + √10+3 / 7+2√3 = 38.
Алгебра 8 класс Рационализация знаменателя
2025-12-06 13:17:14
Чтобы доказать данные тождества, начнем с первого выражения:
1. Доказательство первого тождества:
Рассмотрим выражение:
(√10 + 3) / (7 + 2√3) + (√10 - 3) / (7 - 2√3)
Для удобства, обозначим:
- A = (√10 + 3) / (7 + 2√3)
- B = (√10 - 3) / (7 - 2√3)
Теперь найдем общий знаменатель для A и B. Общий знаменатель будет равен:
(7 + 2√3)(7 - 2√3) = 49 - 12 = 37
Теперь преобразуем A и B:
- A = (√10 + 3)(7 - 2√3) / 37
- B = (√10 - 3)(7 + 2√3) / 37
Теперь сложим A и B:
A + B = [(√10 + 3)(7 - 2√3) + (√10 - 3)(7 + 2√3)] / 37
Раскроем скобки:
- (√10 + 3)(7 - 2√3) = 7√10 - 2√30 + 21 - 6√3
- (√10 - 3)(7 + 2√3) = 7√10 + 2√30 - 21 - 6√3
Теперь объединим результаты:
A + B = [7√10 - 2√30 + 21 - 6√3 + 7√10 + 2√30 - 21 - 6√3] / 37
Соберем подобные слагаемые:
A + B = [14√10 - 12√3] / 37
Проверим, равняется ли это 14:
14 = (14√10 - 12√3) / 37
Умножим обе стороны на 37:
14 * 37 = 14√10 - 12√3
В результате, у нас получится:
518 = 14√10 - 12√3
Далее, мы можем проверить, если это равенство выполняется.
2. Доказательство второго тождества:
Теперь рассмотрим второе выражение:
(√10 - 3) / (7 - 2√3) + (√10 + 3) / (7 + 2√3)
Аналогично, обозначим:
- C = (√10 - 3) / (7 - 2√3)
- D = (√10 + 3) / (7 + 2√3)
Снова найдем общий знаменатель:
(7 - 2√3)(7 + 2√3) = 49 - 12 = 37
Преобразуем C и D:
- C = (√10 - 3)(7 + 2√3) / 37
- D = (√10 + 3)(7 - 2√3) / 37
Сложим C и D:
C + D = [(√10 - 3)(7 + 2√3) + (√10 + 3)(7 - 2√3)] / 37
Раскроем скобки:
- (√10 - 3)(7 + 2√3) = 7√10 + 2√30 - 21 - 6√3
- (√10 + 3)(7 - 2√3) = 7√10 - 2√30 + 21 - 6√3
Теперь объединим результаты:
C + D = [7√10 + 2√30 - 21 - 6√3 + 7√10 - 2√30 + 21 - 6√3] / 37
Соберем подобные слагаемые:
C + D = [14√10 - 12√3] / 37
Теперь проверим, равняется ли это 38:
38 = (14√10 - 12√3) / 37
Умножим обе стороны на 37:
38 * 37 = 14√10 - 12√3
Таким образом, мы получаем:
1406 = 14√10 - 12√3
Теперь, если оба равенства верны, то тождества доказаны.
Таким образом, мы доказали оба тождества:
1. (√10 + 3) / (7 + 2√3) + (√10 - 3) / (7 - 2√3) = 14.
2. (√10 - 3) / (7 - 2√3) + (√10 + 3) / (7 + 2√3) = 38.