Как можно найти длины сторон прямоугольника, если его диагональ составляет 20 см, а одна сторона больше другой на 4 см?

Алгебра 8 класс Системы уравнений длина сторон прямоугольника диагональ прямоугольника алгебра 8 класс задачи на нахождение сторон прямоугольник с диагональю 20 см Новый

Чтобы найти длины сторон прямоугольника, когда известна длина диагонали и разница между сторонами, можно использовать теорему Пифагора и систему уравнений.

Обозначим стороны прямоугольника как a и b, где a - это меньшая сторона, а b - большая сторона. Из условия задачи нам известно, что:

• Диагональ прямоугольника составляет 20 см;
• Одна сторона больше другой на 4 см, то есть b = a + 4.

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольника выполняется следующее уравнение:

a² + b² = d²,

где d - это длина диагонали. Подставим известные значения:

a² + b² = 20².

Теперь подставим выражение для b:

a² + (a + 4)² = 400.

Теперь раскроем скобки:

• (a + 4)² = a² + 8a + 16.

Теперь подставим это в уравнение:

a² + a² + 8a + 16 = 400.

Сложим подобные члены:

2a² + 8a + 16 = 400.

Теперь перенесем 400 на левую сторону:

2a² + 8a + 16 - 400 = 0.

Сократим уравнение:

2a² + 8a - 384 = 0.

Теперь разделим все коэффициенты на 2:

a² + 4a - 192 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = 4, c = -192.

Подставим значения:

D = 4² - 4 * 1 * (-192) = 16 + 768 = 784.

Теперь найдем корни уравнения:

a = (-b ± √D) / 2a = (-4 ± √784) / 2.

Так как √784 = 28, получаем:

• a1 = (-4 + 28) / 2 = 24 / 2 = 12,
• a2 = (-4 - 28) / 2 = -32 / 2 = -16 (это отрицательное значение, его отбрасываем).

Таким образом, a = 12 см.

Теперь найдем b:

b = a + 4 = 12 + 4 = 16 см.

Итак, длины сторон прямоугольника составляют:

• a = 12 см,
• b = 16 см.

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

12² + 16² = 144 + 256 = 400 = 20².

Таким образом, все условия задачи выполнены, и мы нашли длины сторон прямоугольника.