Как можно найти решения для следующих систем уравнений:

1. 1/y - 1/x = 4/5
2. x - y = 4

и

1. x^2 + xy = 10
2. y^2 + xy = 15

Алгебра 8 класс Системы уравнений решение систем уравнений алгебра 8 класс уравнения с двумя переменными нахождение решений методы решения уравнений Новый

Давайте рассмотрим каждую из систем уравнений по отдельности и найдем их решения.

Первая система уравнений:

• 1/y - 1/x = 4/5
• x - y = 4

Шаг 1: Из второго уравнения выразим одну переменную через другую. Из уравнения x - y = 4 можно выразить y:

y = x - 4

Шаг 2: Подставим это значение y в первое уравнение:

1/(x - 4) - 1/x = 4/5

Шаг 3: Найдем общий знаменатель для левой части уравнения. Общий знаменатель будет равен x(x - 4):

(x - (x - 4)) / (x(x - 4)) = 4/5

4 / (x(x - 4)) = 4/5

Шаг 4: Упростим уравнение, умножив обе стороны на 5x(x - 4):

20 = 4x(x - 4)

Шаг 5: Раскроем скобки:

20 = 4x^2 - 16x

Шаг 6: Переносим все в одну сторону:

4x^2 - 16x - 20 = 0

Шаг 7: Упростим уравнение, разделив его на 4:

x^2 - 4x - 5 = 0

Шаг 8: Найдем корни уравнения с помощью формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*1*(-5) = 16 + 20 = 36

x = (4 ± √36) / 2 = (4 ± 6) / 2

Шаг 9: Находим два значения x:

• x1 = (4 + 6) / 2 = 5
• x2 = (4 - 6) / 2 = -1

Шаг 10: Теперь найдем соответствующие значения y:

• Если x = 5, то y = 5 - 4 = 1
• Если x = -1, то y = -1 - 4 = -5

Ответ для первой системы: (5, 1) и (-1, -5).

Вторая система уравнений:

• x^2 + xy = 10
• y^2 + xy = 15

Шаг 1: Выразим xy из первого уравнения:

xy = 10 - x^2

Шаг 2: Подставим это значение xy во второе уравнение:

y^2 + (10 - x^2) = 15

Шаг 3: Упростим уравнение:

y^2 - x^2 + 10 = 15

y^2 - x^2 = 5

Шаг 4: Применим разность квадратов:

(y - x)(y + x) = 5

Шаг 5: Теперь у нас есть два уравнения:

• xy = 10 - x^2
• (y - x)(y + x) = 5

Шаг 6: Мы можем попробовать разные целые значения для y - x и y + x, которые в произведении дают 5. Возможные пары: (1, 5), (5, 1), (-1, -5), (-5, -1).

Шаг 7: Рассмотрим пару (1, 5):

• y - x = 1
• y + x = 5

Шаг 8: Сложим эти два уравнения:

2y = 6 => y = 3

Теперь подставим y = 3 в одно из уравнений:

3 - x = 1 => x = 2

Шаг 9: Проверим, удовлетворяют ли (2, 3) оба уравнения:

• 2^2 + 2*3 = 4 + 6 = 10 (выполняется)
• 3^2 + 2*3 = 9 + 6 = 15 (выполняется)

Шаг 10: Теперь проверим другие пары, например (-1, -5) и (-5, -1), но они не дадут новых положительных решений, так как x и y должны быть положительными.

Ответ для второй системы: (2, 3).