Как можно определить длины сторон прямоугольника, если известно, что их разность равна 31 см, а длина диагонали составляет 41 см? Прошу решить задачу с использованием метода "пусть".

Алгебра 8 класс Системы уравнений алгебра 8 класс задача на прямоугольник длины сторон разность сторон длина диагонали метод "пусть" решение задачи Новый

Для решения задачи с использованием метода "пусть" начнем с обозначения сторон прямоугольника. Обозначим:

• a - длина одной стороны прямоугольника (например, ширина),
• b - длина другой стороны прямоугольника (например, длина).

По условию задачи у нас есть две основные информации:

• Разность сторон: b - a = 31 см,
• Длина диагонали: √(a² + b²) = 41 см.

Сначала выразим одну сторону через другую. Из первого уравнения мы можем выразить b через a:

b = a + 31.

Теперь подставим это выражение во второе уравнение, где у нас есть диагональ:

√(a² + (a + 31)²) = 41.

Теперь избавимся от корня, возведя обе стороны уравнения в квадрат:

a² + (a + 31)² = 41².

Раскроем скобки:

a² + (a² + 62a + 961) = 1681.

Сложим подобные члены:

2a² + 62a + 961 = 1681.

Теперь перенесем 1681 в левую часть уравнения:

2a² + 62a + 961 - 1681 = 0.

Упростим уравнение:

2a² + 62a - 720 = 0.

Теперь можно разделить все коэффициенты на 2 для упрощения:

a² + 31a - 360 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = 31² - 4*1*(-360).

Вычислим дискриминант:

D = 961 + 1440 = 2401.

Теперь найдем корни уравнения:

a = (-b ± √D) / 2a = (-31 ± √2401) / 2.

Корень из 2401 равен 49, подставляем это значение:

a = (-31 ± 49) / 2.

Теперь найдем два возможных значения для a:

• a1 = (18) / 2 = 9,
• a2 = (-80) / 2 = -40 (это значение не подходит, так как длина не может быть отрицательной).

Таким образом, a = 9 см. Теперь найдем b:

b = a + 31 = 9 + 31 = 40 см.

Теперь у нас есть длины сторон прямоугольника:

• Ширина (a) = 9 см,
• Длина (b) = 40 см.

Итак, стороны прямоугольника равны 9 см и 40 см.