Как можно определить катеты прямоугольного треугольника, если известно, что его площадь равна 15 см², а сумма катетов составляет 11 см?

Алгебра 8 класс Системы уравнений катеты прямоугольного треугольника площадь треугольника сумма катетов алгебра 8 класс решение задач по алгебре Новый

Для решения задачи о нахождении катетов прямоугольного треугольника, когда известны площадь и сумма катетов, мы можем использовать следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • Площадь треугольника (S) = 15 см²
   • Сумма катетов (a + b) = 11 см
2. Используем формулу для площади прямоугольного треугольника:

   Площадь прямоугольного треугольника равна:

   S = (a * b) / 2

   Где a и b - катеты треугольника.

3. Подставим известное значение площади в формулу:

   15 = (a * b) / 2

   Умножим обе стороны уравнения на 2:

   30 = a * b

4. Теперь у нас есть система из двух уравнений:
   • 1) a + b = 11
   • 2) a * b = 30
5. Выразим один катет через другой:

   Из первого уравнения можно выразить b:

   b = 11 - a

6. Подставим выражение для b во второе уравнение:

   a * (11 - a) = 30

   Раскроем скобки:

   11a - a² = 30

   Переносим все в одно уравнение:

   a² - 11a + 30 = 0

7. Решим квадратное уравнение:

   Для решения уравнения a² - 11a + 30 = 0 воспользуемся формулой дискриминанта:

   D = b² - 4ac = (-11)² - 4 * 1 * 30 = 121 - 120 = 1

   Так как D > 0, у уравнения два различных корня:

   a = (11 ± √D) / 2 = (11 ± 1) / 2

8. Находим корни:
   • Первый корень: a1 = (11 + 1) / 2 = 12 / 2 = 6
   • Второй корень: a2 = (11 - 1) / 2 = 10 / 2 = 5
9. Теперь найдем значения b:
   • Если a = 6, то b = 11 - 6 = 5.
   • Если a = 5, то b = 11 - 5 = 6.
10. Ответ:

    Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 6 см.