Чтобы решить уравнение xy + 3x = y + 8 и найти все пары натуральных чисел (x, y),давайте начнем с преобразования данного уравнения.

1. Перепишем уравнение:
• xy + 3x = y + 8
2. Переносим все члены на одну сторону:
• xy - y + 3x - 8 = 0

Теперь можно выделить y:

1. Вынесем y за скобки:
• y(x - 1) + 3x - 8 = 0
2. Перепишем уравнение:
• y(x - 1) = 8 - 3x

Теперь выразим y:

1. Поделим обе стороны на (x - 1),если x ≠ 1:
• y = (8 - 3x) / (x - 1)

Теперь нам нужно найти такие значения x, при которых y будет натуральным числом. Для этого рассмотрим выражение (8 - 3x) / (x - 1).

1. Условия для y:
• 8 - 3x > 0, так как y должно быть положительным.
• Это означает, что 3x < 8, следовательно, x < 8/3. Поскольку x - натуральное число, возможные значения x: 1, 2, 3.

Теперь подставим каждое из возможных значений x и найдем соответствующее y:

1. Для x = 1:
• y = (8 - 3*1) / (1 - 1) - здесь деление на ноль, поэтому x = 1 не подходит.
2. Для x = 2:
• y = (8 - 3*2) / (2 - 1) = (8 - 6) / 1 = 2.
• Пара (2, 2) является решением.
3. Для x = 3:
• y = (8 - 3*3) / (3 - 1) = (8 - 9) / 2 = -1/2 - не натуральное число.

Таким образом, единственной парой натуральных чисел, удовлетворяющей уравнению xy + 3x = y + 8, является (2, 2).