Как можно представить функцию f(x)=(2x+3)(x-7) в форме многочлена, разложенной на множители и в виде выделенного полного квадрата?

Алгебра 8 класс Многочлены и их преобразования функция f(x) многочлен разложение на множители полный квадрат алгебра 8 класс Новый

Чтобы представить функцию f(x) = (2x + 3)(x - 7) в форме многочлена, сначала нужно умножить скобки и получить стандартный вид многочлена. Далее мы рассмотрим, как выделить полный квадрат.

Шаг 1: Умножение скобок

Раскроим скобки в функции f(x):

1. Умножим 2x на x: 2x * x = 2x^2
2. Умножим 2x на -7: 2x * -7 = -14x
3. Умножим 3 на x: 3 * x = 3x
4. Умножим 3 на -7: 3 * -7 = -21

Теперь сложим все полученные результаты:

f(x) = 2x^2 - 14x + 3x - 21

Объединим подобные члены:

f(x) = 2x^2 - 11x - 21

Шаг 2: Разложение на множители

Теперь разложим полученный многочлен на множители. Для этого нужно найти такие два числа, которые в сумме дают -11 (коэффициент при x) и в произведении дают -42 (коэффициент при x^2, умноженный на свободный член -21).

• Числа -14 и 3 подходят, так как -14 + 3 = -11 и -14 * 3 = -42.

Теперь можно записать многочлен в разложенной форме:

f(x) = 2(x - 14/2)(x + 3/2) = 2(x - 7)(x + 3)

Шаг 3: Выделение полного квадрата

Теперь выделим полный квадрат из многочлена 2x^2 - 11x - 21. Для этого нужно привести его к форме (ax + b)^2 + c.

Сначала выделим квадрат из 2x^2 - 11x:

f(x) = 2(x^2 - (11/2)x) - 21

Теперь найдем половину коэффициента при x, возведем в квадрат и добавим/вычтем это значение:

(-11/4)^2 = 121/16

Теперь добавим и вычтем это значение:

f(x) = 2(x^2 - (11/2)x + 121/16 - 121/16) - 21

f(x) = 2((x - 11/4)^2 - 121/16) - 21

Теперь раскроем скобки:

f(x) = 2(x - 11/4)^2 - 2 * 121/16 - 21

Сложим -2 * 121/16 и -21, чтобы получить конечный вид:

f(x) = 2(x - 11/4)^2 - 121/8 - 168/8

f(x) = 2(x - 11/4)^2 - 289/8

Таким образом, мы представили функцию f(x) в форме многочлена, разложенной на множители и в виде выделенного полного квадрата:

• Многочлен: f(x) = 2x^2 - 11x - 21
• Разложение на множители: f(x) = 2(x - 7)(x + 3)
• Выделенный полный квадрат: f(x) = 2(x - 11/4)^2 - 289/8