Как можно разложить многочлен 3a^3 - 3b^3 + 5a^2 - 5b^2 на множители?

И как можно представить многочлен a^4 - a^3b + ab^3 - b^4 в виде произведения?

Алгебра 8 класс Факторизация многочленов разложение многочлена множители алгебра 8 класс многочлен 3a^3 - 3b^3 многочлен a^4 - a^3b Новый

Давайте разберем оба многочлена по очереди.

1. Разложение многочлена 3a^3 - 3b^3 + 5a^2 - 5b^2:

Сначала заметим, что в данном многочлене есть общие множители. Мы можем выделить общий множитель из первых двух и последних двух членов:

• 3a^3 - 3b^3 = 3(a^3 - b^3)
• 5a^2 - 5b^2 = 5(a^2 - b^2)

Теперь можем записать многочлен в следующем виде:

3(a^3 - b^3) + 5(a^2 - b^2)

Далее, воспользуемся формулами разложения. Мы знаем, что:

• a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
• a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Теперь подставим эти разложения обратно в наш многочлен:

3((a - b)(a^2 + ab + b^2)) + 5((a - b)(a + b))

Теперь вынесем общий множитель (a - b):

(a - b)(3(a^2 + ab + b^2) + 5(a + b))

Таким образом, многочлен 3a^3 - 3b^3 + 5a^2 - 5b^2 можно представить в виде:

(a - b)(3(a^2 + ab + b^2) + 5(a + b))

2. Разложение многочлена a^4 - a^3b + ab^3 - b^4:

Для этого многочлена также можем попробовать сгруппировать его члены:

• a^4 - a^3b
• + ab^3 - b^4

Теперь выделим общий множитель в каждой группе:

• a^3(a - b)
• + b^3(a - b)

Теперь мы можем записать многочлен как:

(a - b)(a^3 + b^3)

Теперь воспользуемся формулой разложения для суммы кубов:

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Таким образом, мы можем записать конечное разложение:

(a - b)((a + b)(a^2 - ab + b^2))

Итак, многочлен a^4 - a^3b + ab^3 - b^4 можно представить в виде:

(a - b)(a + b)(a^2 - ab + b^2)

Надеюсь, это поможет вам понять, как разложить многочлены на множители!