Как можно решить следующие неравенства:

1. (X - 1/4)(x + 4) > 0
2. t(t + 3) > 0
3. b² ≤ 16
4. x² + 4X + 3 ≤ 0

Помогите!

Алгебра 8 класс Неравенства неравенства решение неравенств алгебра 8 класс математические неравенства графики неравенств Новый

Давайте разберем каждое из неравенств по очереди и найдем их решения.

1. Неравенство (X - 1/4)(x + 4) > 0

Для решения этого неравенства нам нужно найти нули выражения, то есть решить уравнение (X - 1/4)(x + 4) = 0.

• Первый корень: X - 1/4 = 0 → X = 1/4
• Второй корень: x + 4 = 0 → X = -4

Теперь у нас есть два корня: X = -4 и X = 1/4. Эти значения делят числовую ось на три промежутка:

• (-∞, -4)
• (-4, 1/4)
• (1/4, +∞)

Теперь проверим знак произведения в каждом из этих промежутков:

• Для промежутка (-∞, -4): выбираем, например, X = -5. (−5 - 1/4)(−5 + 4) = (−5.25)(−1) > 0
• Для промежутка (-4, 1/4): выбираем X = 0. (0 - 1/4)(0 + 4) = (−1/4)(4) < 0
• Для промежутка (1/4, +∞): выбираем X = 1. (1 - 1/4)(1 + 4) = (3/4)(5) > 0

Таким образом, решение неравенства: X < -4 или X > 1/4.

2. Неравенство t(t + 3) > 0

Аналогично, найдем нули: t(t + 3) = 0.

• Первый корень: t = 0
• Второй корень: t + 3 = 0 → t = -3

Корни: t = -3 и t = 0. Промежутки:

• (-∞, -3)
• (-3, 0)
• (0, +∞)

Проверяем знаки:

• Для (-∞, -3): t = -4. (−4)(−1) > 0
• Для (-3, 0): t = -1. (−1)(2) < 0
• Для (0, +∞): t = 1. (1)(4) > 0

Решение: t < -3 или t > 0.

3. Неравенство b² ≤ 16

Это неравенство можно решить, найдя корни уравнения b² = 16. Корни:

• b = 4
• b = -4

Теперь определим промежутки:

• (-∞, -4)
• (-4, 4)
• (4, +∞)

Проверим знак в каждом промежутке:

• Для (-∞, -4): b = -5. (-5)² = 25 > 16
• Для (-4, 4): b = 0. (0)² = 0 ≤ 16
• Для (4, +∞): b = 5. (5)² = 25 > 16

Таким образом, решение: -4 ≤ b ≤ 4.

4. Неравенство x² + 4x + 3 ≤ 0

Сначала найдем корни уравнения x² + 4x + 3 = 0. Используем дискриминант:

D = b² - 4ac = 4² - 4*1*3 = 16 - 12 = 4.

Корни:

• x₁ = (-b + √D) / 2a = (-4 + 2) / 2 = -1
• x₂ = (-b - √D) / 2a = (-4 - 2) / 2 = -3

Корни: x = -1 и x = -3. Промежутки:

• (-∞, -3)
• (-3, -1)
• (-1, +∞)

Проверяем знак:

• Для (-∞, -3): x = -4. 16 - 16 + 3 > 0
• Для (-3, -1): x = -2. 4 - 8 + 3 < 0
• Для (-1, +∞): x = 0. 0 + 0 + 3 > 0

Решение: -3 ≤ x ≤ -1.

Теперь у вас есть решения для всех четырех неравенств!