Как можно решить следующие уравнения:

1. |x^2+x-6|=x^2+x-6;
2. |y-2y^2|=y.

Алгебра 8 класс Уравнения с модулями решение уравнений алгебра 8 класс модуль уравнения уравнения с модулем алгебраические уравнения Новый

Решение уравнений с модулем требует учета двух случаев: когда выражение внутри модуля положительно и когда оно отрицательно. Давайте рассмотрим оба уравнения по отдельности.

1. Уравнение |x^2+x-6|=x^2+x-6

Первым шагом будет определить, когда выражение x^2+x-6 положительно или равно нулю. Для этого решим неравенство:

1. Решим уравнение x^2+x-6=0. Для этого найдем корни:
• Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a.
• В нашем случае a=1, b=1, c=-6. Подставляем значения: x = (-1 ± √(1²-4*1*(-6))) / (2*1).
• Это дает нам: x = (-1 ± √(1 + 24)) / 2 = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5) / 2.
• Таким образом, корни: x1 = 2 и x2 = -3.
2. Теперь определим интервалы, на которых x^2+x-6 положительно или отрицательно:
• Для x < -3: выражение отрицательно.
• Для -3 < x < 2: выражение положительно.
• Для x > 2: выражение положительно.
3. Теперь рассмотрим случаи:
• Случай 1: x^2+x-6 >= 0 (это происходит на интервалах [-3, 2] и [2, +∞)). В этом случае уравнение становится x^2+x-6 = x^2+x-6, что всегда верно. Следовательно, все значения из интервалов [-3, +∞) являются решениями.
• Случай 2: x^2+x-6 < 0 (это происходит на интервале (-∞, -3)). В этом случае уравнение становится -(x^2+x-6) = x^2+x-6, что упрощается до -x^2-x+6 = x^2+x-6. Переносим все в одну сторону: -2x^2 - 2x + 6 = 0. Делим на -2: x^2 + x - 3 = 0. Находим корни: x1 = 1 и x2 = -3. Поскольку мы рассматриваем только интервал (-∞, -3), то единственным решением этого случая будет x = -3.

Таким образом, окончательные решения для уравнения |x^2+x-6|=x^2+x-6: x ∈ [-3, +∞).

2. Уравнение |y-2y^2|=y

Аналогично, начнем с определения, когда выражение y-2y^2 положительно или равно нулю:

1. Решим уравнение y-2y^2=0. Это можно сделать, вынеся y за скобки: y(1-2y)=0. Таким образом, корни: y1=0 и y2=1/2.
2. Теперь определим интервалы:
• Для y < 0: выражение отрицательно.
• Для 0 < y < 1/2: выражение положительно.
• Для y > 1/2: выражение отрицательно.
3. Рассмотрим случаи:
• Случай 1: y-2y^2 >= 0 (это происходит на интервале [0, 1/2]). Уравнение становится y-2y^2 = y, что упрощается до -2y^2 = 0. Следовательно, y=0 является решением.
• Случай 2: y-2y^2 < 0 (это происходит на интервалах (-∞, 0) и (1/2, +∞)). Уравнение становится -(y-2y^2) = y, что упрощается до -y + 2y^2 = y, или 2y^2 - 2y = 0. Вынесем 2y: 2y(y-1) = 0. Таким образом, корни: y=0 и y=1. Поскольку мы рассматриваем только интервал (1/2, +∞), то единственным решением будет y=1.

Таким образом, окончательные решения для уравнения |y-2y^2|=y: y = 0 и y = 1.