Как можно решить уравнение: (2x+1)/x + 4x/(2x+1) = 5?

Алгебра 8 класс Рациональные уравнения уравнение алгебра решение уравнения дроби 8 класс математика 2x+1 4x 5 Новый

Давайте решим уравнение (2x+1)/x + 4x/(2x+1) = 5 шаг за шагом.

Первое, что мы сделаем, это найдем общий знаменатель для левой части уравнения. Общий знаменатель будет равен x(2x+1). Теперь перепишем уравнение с этим общим знаменателем:

1. Первая дробь: (2x + 1)/x умножим на (2x + 1)/(2x + 1), получаем (2x + 1)(2x + 1)/(x(2x + 1)).
2. Вторая дробь: 4x/(2x + 1) умножим на x/x, получаем 4x^2/(x(2x + 1)).

Теперь у нас есть:

((2x + 1)(2x + 1) + 4x^2)/(x(2x + 1)) = 5

Умножим обе стороны уравнения на x(2x + 1), чтобы избавиться от знаменателя:

(2x + 1)(2x + 1) + 4x^2 = 5x(2x + 1)

Теперь раскроем скобки:

1. Слева: (2x + 1)(2x + 1) = 4x^2 + 4x + 1.
2. Справа: 5x(2x + 1) = 10x^2 + 5x.

Теперь подставим это в уравнение:

4x^2 + 4x + 1 = 10x^2 + 5x

Переносим все элементы в одну сторону уравнения:

4x^2 + 4x + 1 - 10x^2 - 5x = 0

Упрощаем:

-6x^2 - x + 1 = 0

Умножим уравнение на -1 для удобства:

6x^2 + x - 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Формула дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a = 6, b = 1, c = -1.

Вычисляем дискриминант:

D = 1^2 - 4 * 6 * (-1) = 1 + 24 = 25

Теперь находим корни уравнения по формуле:

x = (-b ± √D) / (2a)

x = (-1 ± √25) / (2 * 6)

x = (-1 ± 5) / 12

Теперь найдем два корня:

1. x1 = (4) / 12 = 1/3
2. x2 = (-6) / 12 = -1/2

Таким образом, у нас есть два решения уравнения: x = 1/3 и x = -1/2.

Не забудьте проверить, что найденные значения не делают знаменатели равными нулю в исходном уравнении:

• Для x = 1/3: знаменатели x и 2x + 1 не равны нулю.
• Для x = -1/2: знаменатели также не равны нулю.

Таким образом, мы можем заключить, что оба корня являются допустимыми решениями.