Как можно решить задачу, используя систему уравнений, если площадь прямоугольного треугольника равна 24 см², а разница в длине его катетов составляет 2 см? Как определить гипотенузу этого треугольника?

Алгебра 8 класс Системы уравнений система уравнений площадь треугольника катеты треугольника разница катетов гипотенуза треугольника решение задачи алгебра 8 класс Новый

Для решения данной задачи нам нужно использовать систему уравнений. Давайте обозначим катеты треугольника как x и y, где x - это один катет, а y - другой катет. Из условия задачи мы знаем следующее:

• Площадь треугольника равна 24 см².
• Разница в длине катетов составляет 2 см.

Сначала запишем уравнения, соответствующие этим условиям:

1. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: Площадь = (1/2) * (катет1) * (катет2). В нашем случае это будет:
2. (1/2) * x * y = 24. Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:
3. x * y = 48.

Теперь у нас есть первое уравнение: x * y = 48.

Теперь запишем второе уравнение, учитывающее разницу катетов:

1. Разница между катетами равна 2 см, что можно записать как:
2. x - y = 2.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 1) x * y = 48
• 2) x - y = 2

Теперь решим эту систему. Из второго уравнения выразим x через y:

x = y + 2

Теперь подставим это выражение для x в первое уравнение:

(y + 2) * y = 48

Раскроем скобки:

y^2 + 2y = 48

Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

y^2 + 2y - 48 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 1 (-48) = 4 + 192 = 196

Теперь находим корни уравнения:

y = (-b ± √D) / 2a = (-2 ± √196) / 2 = (-2 ± 14) / 2

Это дает нам два значения:

• y1 = (12) / 2 = 6
• y2 = (-16) / 2 = -8 (это значение не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Теперь, зная y, найдем x:

x = y + 2 = 6 + 2 = 8

Таким образом, катеты треугольника равны 8 см и 6 см.

Теперь, чтобы найти гипотенузу, используем теорему Пифагора:

c = √(x^2 + y^2)

Подставляем значения катетов:

c = √(8^2 + 6^2) = √(64 + 36) = √100 = 10 см

Итак, гипотенуза треугольника равна 10 см.