Как можно упростить следующее выражение: 1/x(x+4) + 1/(x+4)(x+8) + 1/(x+8)(x+12) + 1/(x+12)(x+16)?

Алгебра 8 класс Упрощение дробных выражений Упрощение выражения алгебра 8 класс дроби рациональные выражения математические задачи алгебраические операции решение уравнений Новый

Чтобы упростить данное выражение, начнем с его записи:

1/x(x+4) + 1/(x+4)(x+8) + 1/(x+8)(x+12) + 1/(x+12)(x+16)

Теперь мы видим, что все дроби имеют схожую структуру. Мы можем использовать метод разложения на простейшие дроби. Для этого рассмотрим каждую дробь отдельно.

1. Первая дробь: 1/(x(x+4))
   • Разложим на простейшие дроби: 1/(x(x+4)) = A/x + B/(x+4).
   • Умножим обе стороны на знаменатель: 1 = A(x+4) + Bx.
   • Приравняем коэффициенты:
     • При x=0: 1 = 4A => A = 1/4.
     • При x=-4: 1 = -4B => B = -1/4.
   • Таким образом, 1/(x(x+4)) = 1/4 * (1/x - 1/(x+4)).
2. Вторая дробь: 1/((x+4)(x+8))
   • Разложим: 1/((x+4)(x+8)) = C/(x+4) + D/(x+8).
   • Умножим на знаменатель: 1 = C(x+8) + D(x+4).
   • Приравняем коэффициенты:
     • При x=-4: 1 = 4D => D = 1/4.
     • При x=-8: 1 = -4C => C = -1/4.
   • Таким образом, 1/((x+4)(x+8)) = 1/4 * (-1/(x+4) + 1/(x+8)).
3. Третья дробь: 1/((x+8)(x+12))
   • Разложим: 1/((x+8)(x+12)) = E/(x+8) + F/(x+12).
   • Умножим на знаменатель: 1 = E(x+12) + F(x+8).
   • Приравняем коэффициенты:
     • При x=-8: 1 = 4F => F = 1/4.
     • При x=-12: 1 = -4E => E = -1/4.
   • Таким образом, 1/((x+8)(x+12)) = 1/4 * (-1/(x+8) + 1/(x+12)).
4. Четвертая дробь: 1/((x+12)(x+16))
   • Разложим: 1/((x+12)(x+16)) = G/(x+12) + H/(x+16).
   • Умножим на знаменатель: 1 = G(x+16) + H(x+12).
   • Приравняем коэффициенты:
     • При x=-12: 1 = 4H => H = 1/4.
     • При x=-16: 1 = -4G => G = -1/4.
   • Таким образом, 1/((x+12)(x+16)) = 1/4 * (-1/(x+12) + 1/(x+16)).

Теперь подставим все это обратно в исходное выражение:

1/4 * (1/x - 1/(x+4) - 1/(x+4) + 1/(x+8) - 1/(x+8) + 1/(x+12) - 1/(x+12) + 1/(x+16))

Объединим все дроби:

Мы видим, что многие дроби сокращаются:

В результате остается:

1/4 * (1/x + 1/(x+16))

Таким образом, упрощенное выражение будет:

(1/(4x) + 1/(64 + 4x))

Это и есть окончательный ответ.