Как можно упростить выражение √(9-4√2) - √(3+2√2)?

Алгебра 8 класс Упрощение иррациональных выражений Упрощение выражения алгебра 8 класс корень из выражения квадратный корень алгебраические операции Новый

Чтобы упростить выражение √(9-4√2) - √(3+2√2), давайте разберем каждую из квадратных корней по отдельности.

Шаг 1: Упрощение √(9-4√2)

Мы можем попробовать представить выражение 9 - 4√2 в виде (a - b)², где a и b - некоторые числа. Раскроем скобки:

• (a - b)² = a² - 2ab + b²

Сравнивая с 9 - 4√2, мы видим, что:

• a² + b² = 9
• -2ab = -4√2 → 2ab = 4√2 → ab = 2√2

Теперь давайте подберем a и b. Можно взять a = 3 и b = √2:

• a = 3 → a² = 9
• b = √2 → b² = 2
• 2ab = 2 * 3 * √2 = 6√2 (не подходит)

Попробуем другие значения. Если взять a = 2√2 и b = 1, то:

• a = 2√2 → a² = 8
• b = 1 → b² = 1
• 2ab = 2 * 2√2 * 1 = 4√2 (подходит)

Таким образом, мы можем записать:

√(9 - 4√2) = √((2√2 - 1)²) = 2√2 - 1.

Шаг 2: Упрощение √(3 + 2√2)

Теперь упростим √(3 + 2√2). Также попробуем представить это выражение в виде (a + b)²:

• (a + b)² = a² + 2ab + b²

Сравнивая с 3 + 2√2, мы имеем:

• a² + b² = 3
• 2ab = 2√2 → ab = √2

Если взять a = 1 и b = √2, то:

• a = 1 → a² = 1
• b = √2 → b² = 2
• 2ab = 2 * 1 * √2 = 2√2 (подходит)

Таким образом, мы можем записать:

√(3 + 2√2) = √((1 + √2)²) = 1 + √2.

Шаг 3: Подставляем обратно в выражение

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

√(9-4√2) - √(3+2√2) = (2√2 - 1) - (1 + √2).

Шаг 4: Упрощение окончательного выражения

Теперь упростим:

• 2√2 - 1 - 1 - √2 = 2√2 - √2 - 2 = (2 - 1)√2 - 2 = √2 - 2.

Таким образом, окончательный ответ:

Ответ: √2 - 2.