Чтобы найти целые решения неравенства х² - 4х - 5 < 0, давайте сначала решим соответствующее уравнение х² - 4х - 5 = 0. Это поможет нам определить границы, между которыми будет находиться решение неравенства.

1. Решение квадратного уравнения:
• Для начала мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения: х = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -4, c = -5.
• Подставляем значения:
• b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
• Корни уравнения будут равны:
• х = (4 ± √36) / 2 = (4 ± 6) / 2.
• Таким образом, получаем два корня:
• х₁ = (4 + 6) / 2 = 10 / 2 = 5,
• х₂ = (4 - 6) / 2 = -2 / 2 = -1.
• Итак, корни уравнения: х₁ = 5 и х₂ = -1.
• Теперь мы знаем, что неравенство х² - 4х - 5 < 0 изменяет знак между этими корнями.

Определение интервалов:

• Теперь определим интервалы:
• 1. (-∞, -1)
• 2. (-1, 5)
• 3. (5, +∞)

Проверка знака на интервалах:

• Выберем тестовые точки из каждого интервала:
• 1. Для интервала (-∞, -1) возьмем х = -2:
• (-2)² - 4 * (-2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7 > 0, значит, здесь знак положительный.
• 2. Для интервала (-1, 5) возьмем х = 0:
• 0² - 4 * 0 - 5 = -5 < 0, значит, здесь знак отрицательный.
• 3. Для интервала (5, +∞) возьмем х = 6:
• 6² - 4 * 6 - 5 = 36 - 24 - 5 = 7 > 0, значит, здесь знак положительный.

Таким образом, неравенство х² - 4х - 5 < 0 выполняется на интервале (-1, 5).

Целые решения:

• Теперь найдем целые числа, которые принадлежат этому интервалу:
• Целые числа в интервале (-1, 5): -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Итак, целые решения неравенства х² - 4х - 5 < 0: 0, 1, 2, 3, 4.

Графическое представление:

На числовой прямой это можно изобразить следующим образом:

• Наносим точки -1 и 5, которые не включаются в интервал (они круглые).
• Затем закрашиваем участок между -1 и 5, чтобы показать, что все числа в этом интервале являются решениями неравенства.

Таким образом, мы нашли целые решения и графически представили интервал. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь задавать их!