Чтобы решить уравнение:

1/(x-7) - 1/(x-1) = 1/(x-10) - 1/(x-9),

мы начнем с упрощения обеих сторон уравнения. Для этого сначала найдем общий знаменатель для дробей.

Общий знаменатель для левой части уравнения (1/(x-7) - 1/(x-1)) будет:

• (x - 7)(x - 1)

А для правой части (1/(x-10) - 1/(x-9)) общий знаменатель будет:

• (x - 10)(x - 9)

Теперь перепишем обе стороны уравнения с использованием этих общих знаменателей:

[(x - 1) - (x - 7)] / [(x - 7)(x - 1)] = [(x - 9) - (x - 10)] / [(x - 10)(x - 9)]

Упростим каждую из дробей:

• Левая часть: (x - 1) - (x - 7) = -1 + 7 = 6, тогда:
• 1/(x-7) - 1/(x-1) = 6 / [(x - 7)(x - 1)]

• Правая часть: (x - 9) - (x - 10) = -9 + 10 = 1, тогда:
• 1/(x-10) - 1/(x-9) = 1 / [(x - 10)(x - 9)]

Теперь у нас есть:

6 / [(x - 7)(x - 1)] = 1 / [(x - 10)(x - 9)]

Теперь мы можем перекрестно умножить:

6 * [(x - 10)(x - 9)] = 1 * [(x - 7)(x - 1)]

Раскроем скобки:

• Левая часть: 6 * [(x - 10)(x - 9)] = 6 * (x^2 - 19x + 90) = 6x^2 - 114x + 540
• Правая часть: 1 * [(x - 7)(x - 1)] = (x^2 - 8x + 7)

Теперь у нас есть уравнение:

6x^2 - 114x + 540 = x^2 - 8x + 7

Переносим все в одну сторону:

6x^2 - 114x + 540 - x^2 + 8x - 7 = 0

Упростим:

5x^2 - 106x + 533 = 0

Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = 5, b = -106, c = 533.

Сначала находим дискриминант:

D = b² - 4ac = (-106)² - 4 * 5 * 533

D = 11236 - 10660 = 576

Теперь подставляем значения в формулу:

x = (106 ± √576) / 10

√576 = 24, тогда:

x1 = (106 + 24) / 10 = 13

x2 = (106 - 24) / 10 = 8.2

Таким образом, корни уравнения:

• x1 = 13
• x2 = 8.2

Не забудьте проверить, что найденные корни не делают знаменатели равными нулю:

• Для x1 = 13: (x-7) = 6, (x-1) = 12, (x-10) = 3, (x-9) = 4 - все знаменатели не равны нулю.
• Для x2 = 8.2: (x-7) = 1.2, (x-1) = 7.2, (x-10) = -1.8, (x-9) = -0.8 - также все знаменатели не равны нулю.

Ответ: корни уравнения - x1 = 13 и x2 = 8.2.