Как найти решение для системы уравнений: x^2 + y^2 = 65 и 2x - y = 15?

Алгебра 8 класс Системы уравнений система уравнений решение системы алгебра 8 класс уравнения x^2 + y^2 уравнения 2x - y методы решения уравнений Новый

Чтобы решить систему уравнений, состоящую из уравнения окружности и линейного уравнения, следуем следующим шагам:

Дана система уравнений:

• 1) x^2 + y^2 = 65 (уравнение окружности)
• 2) 2x - y = 15 (линейное уравнение)

Первым делом, мы можем выразить одну переменную через другую из линейного уравнения. Из второго уравнения выразим y:

1. 2x - y = 15
2. y = 2x - 15

Теперь подставим выражение для y в уравнение окружности:

1. x^2 + (2x - 15)^2 = 65

Раскроем скобки:

1. (2x - 15)^2 = 4x^2 - 60x + 225
2. Теперь подставим это в уравнение:
3. x^2 + 4x^2 - 60x + 225 = 65

Соберем все члены в одной части уравнения:

1. 5x^2 - 60x + 225 - 65 = 0
2. 5x^2 - 60x + 160 = 0

Теперь упростим уравнение, разделив все члены на 5:

1. x^2 - 12x + 32 = 0

Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы корней:

1. Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4*1*32 = 144 - 128 = 16
2. Корни уравнения находятся по формуле: x = ( -b ± √D ) / (2a)

Подставляем значения:

1. x1 = (12 + √16) / 2 = (12 + 4) / 2 = 16 / 2 = 8
2. x2 = (12 - √16) / 2 = (12 - 4) / 2 = 8 / 2 = 4

Теперь мы нашли два значения для x: x1 = 8 и x2 = 4. Теперь найдем соответствующие значения y:

1. Для x1 = 8:
2. y = 2*8 - 15 = 16 - 15 = 1
3. Для x2 = 4:
4. y = 2*4 - 15 = 8 - 15 = -7

Таким образом, у нас есть два решения для системы уравнений:

• (8, 1)
• (4, -7)

Итак, решения системы уравнений: (8, 1) и (4, -7).