Как найти решение неравенства (x-1)(3x-5) < 1?

Алгебра 8 класс Неравенства неравенство решение неравенства алгебра 8 класс (x-1)(3x-5) < 1 алгебраические неравенства методы решения неравенств Новый

Чтобы решить неравенство (x-1)(3x-5) < 1, следуем следующим шагам:

1. Переносим 1 на левую сторону неравенства:

Мы можем переписать неравенство так:

(x-1)(3x-5) - 1 < 0

2. Упрощаем левую часть:

Теперь раскроем скобки:

(x-1)(3x-5) = 3x^2 - 5x - 3x + 5 = 3x^2 - 8x + 5

Теперь подставим это выражение в неравенство:

3x^2 - 8x + 5 - 1 < 0

Это упрощается до:

3x^2 - 8x + 4 < 0

3. Находим корни квадратного уравнения:

Теперь мы решим уравнение 3x^2 - 8x + 4 = 0 с помощью дискриминанта:

Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 3, b = -8, c = 4:

D = (-8)^2 - 4 * 3 * 4 = 64 - 48 = 16

4. Находим корни:

Корни уравнения находятся по формуле:

x1,2 = (-b ± √D) / (2a)

Подставляем значения:

x1 = (8 + √16) / (2 * 3) = (8 + 4) / 6 = 12 / 6 = 2

x2 = (8 - √16) / (2 * 3) = (8 - 4) / 6 = 4 / 6 = 2/3

5. Определяем интервалы:

Теперь у нас есть два корня: x1 = 2 и x2 = 2/3. Эти корни делят числовую прямую на три интервала:

• (-∞, 2/3)
• (2/3, 2)
• (2, +∞)
6. Проверяем знаки на каждом интервале:

Выберем тестовые точки для каждого интервала:

• Для интервала (-∞, 2/3), например, x = 0:

3(0)^2 - 8(0) + 4 = 4 > 0

• Для интервала (2/3, 2), например, x = 1:

3(1)^2 - 8(1) + 4 = 3 - 8 + 4 = -1 < 0

• Для интервала (2, +∞), например, x = 3:

3(3)^2 - 8(3) + 4 = 27 - 24 + 4 = 7 > 0

7. Записываем ответ:

Неравенство 3x^2 - 8x + 4 < 0 выполняется на интервале (2/3, 2).

Таким образом, решение неравенства (x-1)(3x-5) < 1:

x ∈ (2/3, 2)