Как найти решение неравенства (x-8)^2 < корень из 3(x-8)?

Алгебра 8 класс Неравенства неравенство решение неравенства алгебра 8 класс квадратное неравенство корень из выражения Новый

Чтобы решить неравенство (x-8)^2 < √(3(x-8)), давайте сначала упростим его. Для этого сделаем замену переменной:

Шаг 1: Замена переменной

Пусть y = x - 8. Тогда неравенство можно переписать как:

y^2 < √(3y)

Шаг 2: Устранение корня

Чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны неравенства в квадрат. Но помните, что при этом нужно быть осторожными, так как это может изменить знак неравенства, если обе стороны отрицательны. В данном случае, мы сначала рассмотрим возможные значения y:

y^2 < √(3y) означает, что √(3y) должно быть неотрицательным, следовательно, 3y ≥ 0, или y ≥ 0.

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

y^4 < 3y

Шаг 3: Приведение к стандартному виду

Переносим все в одну сторону:

y^4 - 3y < 0

Шаг 4: Факторизация

Теперь можно вынести общий множитель:

y(y^3 - 3) < 0

Шаг 5: Нахождение корней

Теперь найдем корни неравенства:

• y = 0
• y^3 - 3 = 0, отсюда y = √3

Таким образом, у нас есть два корня: y = 0 и y = √3.

Шаг 6: Определение знаков

Теперь мы можем определить знаки выражения y(y^3 - 3) на промежутках, которые определяются этими корнями:

• (-∞, 0)
• (0, √3)
• (√3, +∞)

Проверим знаки в каждом из этих промежутков:

• Для y < 0 (например, y = -1): (-1)((-1)^3 - 3) = -1(-1 - 3) = 4 (положительное)
• Для 0 < y < √3 (например, y = 1): (1)((1)^3 - 3) = 1(1 - 3) = -2 (отрицательное)
• Для y > √3 (например, y = 2): (2)((2)^3 - 3) = 2(8 - 3) = 10 (положительное)

Шаг 7: Запись решения

Неравенство y(y^3 - 3) < 0 выполняется на промежутке (0, √3).

Шаг 8: Возврат к переменной x

Теперь вернемся к переменной x. Мы знаем, что y = x - 8, следовательно:

• 0 < x - 8 < √3

Добавим 8 ко всем частям неравенства:

• 8 < x < 8 + √3

Итак, окончательное решение:

x принадлежит интервалу (8, 8 + √3).