Как найти решение уравнения: x^2 - 9 / x^2 = 6?

Алгебра 8 класс Рациональные уравнения решение уравнения алгебра 8 класс уравнение x^2 - 9 Дробное уравнение математические задачи алгебраические выражения Новый

Чтобы решить уравнение x^2 - 9 / x^2 = 6, давайте следовать пошагово:

1. Приведем уравнение к общему виду. У нас есть дробь, поэтому сначала мы можем переписать уравнение так, чтобы избавиться от деления:
• Умножим обе стороны уравнения на x^2 (при условии, что x ≠ 0):
• x^2 * (x^2 - 9 / x^2) = 6 * x^2
• Это упростится до:
• x^4 - 9 = 6x^2
2. Переносим все члены в одну сторону. Мы можем переписать уравнение следующим образом:
• x^4 - 6x^2 - 9 = 0
3. Теперь сделаем замену переменной. Обозначим y = x^2. Тогда уравнение станет:
• y^2 - 6y - 9 = 0
4. Решим полученное квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант:
• D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -6, c = -9.
• Подставляем значения:
• D = (-6)^2 - 4 * 1 * (-9) = 36 + 36 = 72
5. Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:
• y1,2 = (-b ± √D) / (2a)
• Подставляем значения:
• y1 = (6 + √72) / 2 = (6 + 6√2) / 2 = 3 + 3√2
• y2 = (6 - √72) / 2 = (6 - 6√2) / 2 = 3 - 3√2
6. Теперь вернемся к переменной x. Так как мы обозначали y = x^2, то:
• x^2 = 3 + 3√2 и x^2 = 3 - 3√2
7. Находим корни x:
• x = ±√(3 + 3√2)
• x = ±√(3 - 3√2)
8. Проверяем, какие из этих корней действительны. Заметим, что 3 - 3√2 отрицательно, следовательно, корень из этого выражения не будет действительным.
9. Таким образом, действительными решениями будут:
• x = √(3 + 3√2)
• x = -√(3 + 3√2)

В итоге, мы нашли два действительных решения уравнения:

• x = √(3 + 3√2)
• x = -√(3 + 3√2)