Как найти стороны прямоугольника, если его диагональ равна 17 см, а периметр составляет 46 см?

Алгебра 8 класс Системы уравнений алгебра 8 класс стороны прямоугольника диагональ 17 см периметр 46 см задачи по алгебре решение задач геометрия прямоугольника Новый

Чтобы найти стороны прямоугольника, зная его диагональ и периметр, мы можем использовать два основных уравнения: одно для периметра и другое для диагонали. Давайте обозначим стороны прямоугольника как a и b.

1. **Запишем формулу для периметра**:

• Периметр P = 2(a + b)

В нашем случае P = 46 см. Подставим это значение в формулу:

• 46 = 2(a + b)

Теперь упростим уравнение:

• a + b = 46 / 2 = 23

Теперь мы знаем, что сумма сторон a и b равна 23 см.

2. **Запишем формулу для диагонали**:

• Диагональ d = √(a² + b²)

В нашем случае d = 17 см. Подставим это значение в формулу:

• 17 = √(a² + b²)

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

• 17² = a² + b²
• 289 = a² + b²

Теперь у нас есть две системы уравнений:

• 1) a + b = 23
• 2) a² + b² = 289

3. **Решим систему уравнений**. Из первого уравнения выразим одну из сторон, например b:

• b = 23 - a

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

• a² + (23 - a)² = 289

Раскроем скобки:

• a² + (23² - 46a + a²) = 289
• 2a² - 46a + 529 = 289

Теперь упростим уравнение:

• 2a² - 46a + 240 = 0

4. **Решим квадратное уравнение**. Разделим всё на 2:

• a² - 23a + 120 = 0

Теперь воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

• a = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = -23, c = 120. Подставим значения:

• a = (23 ± √((-23)² - 4 * 1 * 120)) / (2 * 1)
• a = (23 ± √(529 - 480)) / 2
• a = (23 ± √49) / 2
• a = (23 ± 7) / 2

Теперь найдем два возможных значения для a:

• a₁ = (30) / 2 = 15
• a₂ = (16) / 2 = 8

5. **Найдем соответствующие значения для b**:

• Если a = 15, то b = 23 - 15 = 8.
• Если a = 8, то b = 23 - 8 = 15.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 15 см и 8 см.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 15 см и 8 см.