Как определить длину и ширину прямоугольника, если разница площадей квадратов, построенных на его смежных сторонах, равна 20 см², а периметр этого прямоугольника равен 20 см?

Алгебра 8 класс Системы уравнений длина и ширина прямоугольника разница площадей квадратов периметр прямоугольника алгебра 8 класс задачи на прямоугольник Новый

Для решения задачи давайте обозначим длину прямоугольника как a, а ширину как b. У нас есть две основные информации:

• Разница площадей квадратов, построенных на смежных сторонах, равна 20 см².
• Периметр прямоугольника равен 20 см.

Теперь запишем эти условия в виде уравнений:

1. Разница площадей квадратов: a² - b² = 20.
2. Периметр прямоугольника: 2(a + b) = 20, что можно упростить до a + b = 10.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 1) a² - b² = 20
• 2) a + b = 10

Для решения системы уравнений выразим одну переменную через другую. Из второго уравнения выразим b:

b = 10 - a

Теперь подставим это выражение для b в первое уравнение:

a² - (10 - a)² = 20.

Раскроем скобки:

a² - (100 - 20a + a²) = 20.

Упростим уравнение:

a² - 100 + 20a - a² = 20

Сократим a²:

20a - 100 = 20.

Теперь добавим 100 к обеим сторонам:

20a = 120.

Разделим обе стороны на 20:

a = 6.

Теперь, зная a, найдем b:

b = 10 - a = 10 - 6 = 4.

Таким образом, мы нашли длину и ширину прямоугольника:

• Длина (a) = 6 см
• Ширина (b) = 4 см

Теперь мы можем проверить, удовлетворяют ли найденные значения условиям задачи:

• Периметр: 2(6 + 4) = 20 см (все верно).
• Разница площадей квадратов: 6² - 4² = 36 - 16 = 20 см² (все верно).

Ответ: длина прямоугольника 6 см, ширина 4 см.