Как решить на множестве R уравнение: (х - 1) / (х - 2) - (2 - х) / (2х^2 - 4х) = (2x + 1) / 3x?

Алгебра 8 класс Рациональные уравнения решение уравнения алгебра 8 класс уравнение на множестве R дробно-рациональное уравнение алгебраические выражения Новый

Для решения уравнения (х - 1) / (х - 2) - (2 - х) / (2х^2 - 4х) = (2x + 1) / 3x, давайте следовать пошагово.

Шаг 1: Упростим левую часть уравнения

Сначала заметим, что 2х^2 - 4х можно разложить на множители:

• 2х^2 - 4х = 2х(х - 2).

Тогда уравнение можно переписать так:

(х - 1) / (х - 2) - (2 - х) / (2х(х - 2)) = (2x + 1) / 3x.

Шаг 2: Приведем дроби к общему знаменателю

Общий знаменатель для левой части уравнения будет 2х(х - 2). Приведем дроби к этому знаменателю:

• (х - 1) / (х - 2) = (х - 1) * 2х / (2х(х - 2)) = (2х(х - 1)) / (2х(х - 2)),
• (2 - х) / (2х(х - 2)) остается без изменений.

Теперь у нас есть:

(2х(х - 1) - (2 - х)) / (2х(х - 2)) = (2x + 1) / 3x.

Шаг 3: Упростим числитель

Упростим числитель левой части:

• 2х(х - 1) - (2 - х) = 2х^2 - 2х - 2 + х = 2х^2 - х - 2.

Теперь уравнение выглядит так:

(2х^2 - х - 2) / (2х(х - 2)) = (2x + 1) / 3x.

Шаг 4: Перекрестное умножение

Теперь мы можем использовать перекрестное умножение:

(2х^2 - х - 2) * 3x = (2x + 1) * 2х(х - 2).

Шаг 5: Раскроем скобки

Раскроем скобки с обеих сторон:

• Левая часть: 6х^3 - 3х^2 - 6х.
• Правая часть: 4х^2 - 4х + 2х + 2 = 4х^2 - 2х.

Шаг 6: Переносим все в одну сторону

Теперь перенесем все в одну сторону уравнения:

6х^3 - 3х^2 - 6х - 4х^2 + 2х = 0.

Соберем подобные члены:

6х^3 - 7х^2 - 4х = 0.

Шаг 7: Вынесем общий множитель

Вынесем х за скобки:

х(6х^2 - 7х - 4) = 0.

Шаг 8: Найдем корни

Теперь у нас есть два случая:

• х = 0,
• 6х^2 - 7х - 4 = 0.

Для второго уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 6 * (-4) = 49 + 96 = 145.

Корни уравнения:

х = (7 ± sqrt(145)) / 12.

Шаг 9: Записываем все корни

Таким образом, корни уравнения:

• х = 0,
• х = (7 + sqrt(145)) / 12,
• х = (7 - sqrt(145)) / 12.

Не забудьте проверить, что найденные корни не приводят к делению на ноль в исходном уравнении. Если все условия выполнены, то корни являются решениями уравнения.