Как решить неравенство: (2 + 7x)² ≤ (4 - 3x)²?

Алгебра 8 класс Неравенства решение неравенства алгебра 8 класс неравенства с квадратами метод решения неравенств Квадратные неравенства алгебраические выражения Новый

Для решения неравенства (2 + 7x)² ≤ (4 - 3x)², мы начнем с того, что у нас есть квадратные выражения с обеих сторон. Чтобы упростить задачу, давайте сначала разложим каждую из сторон на множители.

1. Раскроим скобки:

• (2 + 7x)² = 4 + 28x + 49x²
• (4 - 3x)² = 16 - 24x + 9x²

2. Теперь подставим эти выражения обратно в неравенство:

4 + 28x + 49x² ≤ 16 - 24x + 9x²

3. Переносим все члены в одну сторону неравенства:

49x² - 9x² + 28x + 24x + 4 - 16 ≤ 0

4. Упростим выражение:

• 49x² - 9x² = 40x²
• 28x + 24x = 52x
• 4 - 16 = -12

Таким образом, мы получаем:

40x² + 52x - 12 ≤ 0

5. Теперь упростим это неравенство, разделив все его члены на 4:

10x² + 13x - 3 ≤ 0

6. Теперь найдем корни квадратного уравнения 10x² + 13x - 3 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = 13² - 4 * 10 * (-3) = 169 + 120 = 289
• Корни уравнения находятся по формуле x = (-b ± √D) / (2a).

7. Подставим значения:

• x₁ = (-13 + √289) / (2 * 10) = (-13 + 17) / 20 = 4 / 20 = 1/5
• x₂ = (-13 - √289) / (2 * 10) = (-13 - 17) / 20 = -30 / 20 = -3/2

8. Теперь у нас есть корни x₁ = 1/5 и x₂ = -3/2. Мы можем использовать их для определения интервалов, на которых неравенство выполняется. Рассмотрим промежутки:

• (-∞, -3/2)
• (-3/2, 1/5)
• (1/5, +∞)

9. Проверим знак неравенства в каждом из интервалов:

• Для x < -3/2 (например, x = -2): 10*(-2)² + 13*(-2) - 3 = 40 - 26 - 3 = 11 > 0
• Для -3/2 < x < 1/5 (например, x = 0): 10*0² + 13*0 - 3 = -3 < 0
• Для x > 1/5 (например, x = 1): 10*1² + 13*1 - 3 = 10 + 13 - 3 = 20 > 0

10. Таким образом, неравенство выполняется на интервале:

-3/2 ≤ x ≤ 1/5.

Ответ: x ∈ [-3/2, 1/5].