Как решить неравенство:

(2x+2)² > (x-5)²?

Алгебра 8 класс Неравенства решение неравенства алгебра 8 класс неравенства с квадратами Квадратные неравенства примеры неравенств Новый

Чтобы решить неравенство (2x + 2)² > (x - 5)², давайте начнем с того, что упростим его. Для этого мы можем воспользоваться методом, который заключается в том, что мы сначала разложим обе стороны неравенства.

1. Раскроем скобки:

• (2x + 2)² = 4x² + 8x + 4
• (x - 5)² = x² - 10x + 25

2. Теперь подставим эти выражения обратно в неравенство:

4x² + 8x + 4 > x² - 10x + 25

3. Переносим все элементы на одну сторону неравенства:

4x² + 8x + 4 - x² + 10x - 25 > 0

4. Упростим это выражение:

• 4x² - x² = 3x²
• 8x + 10x = 18x
• 4 - 25 = -21

Таким образом, мы получаем:

3x² + 18x - 21 > 0

5. Теперь мы можем упростить это неравенство, разделив все его члены на 3:

x² + 6x - 7 > 0

6. Теперь мы можем решить соответствующее уравнение x² + 6x - 7 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = 6² - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64

7. Находим корни уравнения:

• x₁ = (-b + √D) / 2a = (-6 + 8) / 2 = 1
• x₂ = (-b - √D) / 2a = (-6 - 8) / 2 = -7

8. Теперь у нас есть корни x₁ = 1 и x₂ = -7. Эти корни делят числовую прямую на три интервала:

• (-∞, -7)
• (-7, 1)
• (1, +∞)

9. Теперь нужно определить знак выражения x² + 6x - 7 на каждом из этих интервалов. Для этого подставим тестовые значения из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -7), например, x = -8: (-8)² + 6*(-8) - 7 = 64 - 48 - 7 = 9 (положительно)
• Для интервала (-7, 1), например, x = 0: 0² + 6*0 - 7 = -7 (отрицательно)
• Для интервала (1, +∞), например, x = 2: (2)² + 6*2 - 7 = 4 + 12 - 7 = 9 (положительно)

10. Таким образом, неравенство x² + 6x - 7 > 0 выполняется на интервалах:

• (-∞, -7)
• (1, +∞)

11. В итоге, решение неравенства (2x + 2)² > (x - 5)² будет записано как:

x < -7 или x > 1.