Для решения неравенства 4x² + 6x < 9x² - 14x, начнем с того, что приведем все слагаемые к одной стороне неравенства. Это позволит нам работать с одним выражением:

1. Переносим все слагаемые на одну сторону:

4x² + 6x - 9x² + 14x < 0

2. Теперь упрощаем выражение:

(4x² - 9x²) + (6x + 14x) < 0

-5x² + 20x < 0

3. Теперь можно вынести общий множитель:

-5(x² - 4x) < 0

4. Делим обе стороны на -5. Не забывайте, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

x² - 4x > 0

Теперь мы имеем неравенство x² - 4x > 0. Далее, для его решения, найдем корни уравнения x² - 4x = 0:

1. Вынесем общий множитель:

x(x - 4) = 0

2. Приравниваем каждое множитель к нулю:
• x = 0
• x - 4 = 0 → x = 4

Теперь у нас есть корни x = 0 и x = 4. Эти корни делят числовую ось на три интервала:

• (-∞; 0)
• (0; 4)
• (4; +∞)

Теперь мы проверим знаки выражения x(x - 4) на каждом из этих интервалов:

1. Для интервала (-∞; 0), например, подставим x = -1:

-1(-1 - 4) = -1 * -5 = 5 (положительное)

2. Для интервала (0; 4), например, подставим x = 2:

2(2 - 4) = 2 * -2 = -4 (отрицательное)

3. Для интервала (4; +∞), например, подставим x = 5:

5(5 - 4) = 5 * 1 = 5 (положительное)

Таким образом, мы нашли знаки на интервалах:

• (-∞; 0) - положительное
• (0; 4) - отрицательное
• (4; +∞) - положительное

Так как нам нужно, чтобы выражение было больше нуля (x(x - 4) > 0), мы берем интервалы:

• (-∞; 0)
• (4; +∞)

Таким образом, ответ к неравенству 4x² + 6x < 9x² - 14x:

x < 0 или x > 4