Как решить неравенство 5x + 1 / x - 2 < 0?

Алгебра 8 класс Неравенства решение неравенства алгебра 8 класс неравенства с дробями 5x + 1 / x - 2 < 0 алгебраические неравенства примеры неравенств методы решения неравенств Новый

Для решения неравенства (5x + 1) / (x - 2) < 0, следуем следующим шагам:

1. Определим область определения. Неравенство имеет дробь, поэтому необходимо определить, когда знаменатель равен нулю. Знаменатель (x - 2) равен нулю, когда x = 2. Это значение исключается из области определения.
2. Найдём нули числителя. Числитель (5x + 1) равен нулю, когда:
   • 5x + 1 = 0
   • 5x = -1
   • x = -1/5
3. Определим знаки дроби на промежутках. У нас есть две важные точки: x = -1/5 (нулевой числитель) и x = 2 (нулевой знаменатель). Эти точки делят числовую прямую на три промежутка:
   • Промежуток 1: (-∞, -1/5)
   • Промежуток 2: (-1/5, 2)
   • Промежуток 3: (2, +∞)
4. Проверим знак дроби на каждом промежутке.
   • Для промежутка (-∞, -1/5): возьмём, например, x = -1.
     • 5*(-1) + 1 = -5 + 1 = -4 (отрицательно)
     • -1 - 2 = -3 (отрицательно)
     • (-4) / (-3) = 4/3 (положительно)
   • Для промежутка (-1/5, 2): возьмём, например, x = 0.
     • 5*0 + 1 = 1 (положительно)
     • 0 - 2 = -2 (отрицательно)
     • (1) / (-2) = -1/2 (отрицательно)
   • Для промежутка (2, +∞): возьмём, например, x = 3.
     • 5*3 + 1 = 15 + 1 = 16 (положительно)
     • 3 - 2 = 1 (положительно)
     • (16) / (1) = 16 (положительно)
5. Соберём информацию о знаках. Мы получили следующие знаки на промежутках:
   • (-∞, -1/5): положительно
   • (-1/5, 2): отрицательно
   • (2, +∞): положительно
6. Запишем ответ. Мы ищем, где дробь меньше нуля. Это происходит на промежутке (-1/5, 2). Так как в неравенстве строгое неравенство (<0), точки -1/5 и 2 не включаются в ответ. Таким образом, ответ будет: x ∈ (-1/5; 2).

Таким образом, решением неравенства (5x + 1) / (x - 2) < 0 является промежуток (-1/5; 2).