Для решения неравенства a^2 + b^2 - 16a + 14b + 114 > 0, начнем с преобразования его в более удобный вид. Мы можем сгруппировать и упростить его с помощью выделения полного квадрата.

Шаг 1: Выделим полный квадрат для переменной a.

• Сначала рассмотрим часть, связанную с a: a^2 - 16a.
• Чтобы выделить полный квадрат, добавим и вычтем (16/2)^2 = 64: a^2 - 16a = (a - 8)^2 - 64.

Шаг 2: Теперь выделим полный квадрат для переменной b.

• Рассмотрим часть, связанную с b: b^2 + 14b.
• Добавим и вычтем (14/2)^2 = 49: b^2 + 14b = (b + 7)^2 - 49.

Шаг 3: Подставим полученные выражения обратно в неравенство.

Неравенство теперь выглядит так:

(a - 8)^2 - 64 + (b + 7)^2 - 49 + 114 > 0.

Шаг 4: Упростим это неравенство.

• Сложим все константы: -64 - 49 + 114 = 1.
• Таким образом, неравенство принимает вид: (a - 8)^2 + (b + 7)^2 + 1 > 0.

Шаг 5: Теперь проанализируем полученное неравенство.

(a - 8)^2 + (b + 7)^2 + 1 > 0.

Сумма квадратов всегда неотрицательна, и (a - 8)^2 + (b + 7)^2 >= 0 для всех значений a и b. Однако, так как мы добавили 1, то неравенство всегда будет истинным, так как минимальное значение суммы квадратов равно 0, и 0 + 1 = 1, что больше 0.

Таким образом, неравенство a^2 + b^2 - 16a + 14b + 114 > 0 верно для всех значений a и b.

Ответ: Неравенство выполняется для всех a и b.