Как решить неравенство (х-1)² < √2(х-1)? Пожалуйста, срочно!

Алгебра 8 класс Неравенства решение неравенства алгебра 8 класс (х-1)² < √2(х-1) неравенства в алгебре учебник алгебры 8 класс Новый

Чтобы решить неравенство (х-1)² < √2(х-1), давайте начнем с того, что упростим его. Сначала перенесем все слагаемые в одну сторону:

(х-1)² - √2(х-1) < 0.

Теперь заметим, что (х-1) является общим множителем. Мы можем вынести его за скобки:

(х-1) [(х-1) - √2] < 0.

Теперь у нас есть произведение двух множителей, и мы хотим, чтобы это произведение было меньше нуля. Это означает, что один из множителей должен быть положительным, а другой - отрицательным.

Шаг 1: Найдем нули множителей.

• Первый множитель: (х-1) = 0, отсюда х = 1.
• Второй множитель: (х-1) - √2 = 0, отсюда х = 1 + √2.

Шаг 2: Определим интервалы.

Теперь у нас есть два критических значения: х = 1 и х = 1 + √2. Эти значения разделяют числовую прямую на три интервала:

• (-∞, 1)
• (1, 1 + √2)
• (1 + √2, +∞)

Шаг 3: Проверим знаки в каждом интервале.

1. Для интервала (-∞, 1):
   • Выберем, например, х = 0. Тогда (0-1) = -1 (отрицательный), и (0-1) - √2 = -1 - √2 (отрицательный).
   • Произведение: (-1) * (-1 - √2) = положительное.
2. Для интервала (1, 1 + √2):
   • Выберем, например, х = 2. Тогда (2-1) = 1 (положительный), и (2-1) - √2 = 1 - √2 (отрицательный, так как √2 > 1).
   • Произведение: (1) * (1 - √2) = отрицательное.
3. Для интервала (1 + √2, +∞):
   • Выберем, например, х = 3. Тогда (3-1) = 2 (положительный), и (3-1) - √2 = 2 - √2 (положительный, так как 2 > √2).
   • Произведение: (2) * (2 - √2) = положительное.

Шаг 4: Запишем ответ.

Мы ищем интервал, где произведение меньше нуля. Это происходит только в интервале (1, 1 + √2).

Таким образом, решение неравенства (х-1)² < √2(х-1) будет:

Ответ: х ∈ (1, 1 + √2).