Чтобы решить неравенство (х-2)(х+3)(8х-2) < 0, следуем следующим шагам:

Сначала определим, при каких значениях х произведение (х-2)(х+3)(8х-2) равно нулю. Для этого приравняем каждый множитель к нулю:

• х - 2 = 0 → х = 2
• х + 3 = 0 → х = -3
• 8х - 2 = 0 → 8х = 2 → х = 1/4

Таким образом, корни неравенства: х = -3, х = 1/4, х = 2.

Теперь отметим найденные корни на числовой прямой:

• х = -3
• х = 1/4
• х = 2

Разделим числовую прямую на интервалы, которые определяются корнями:

• (-∞, -3)
• (-3, 1/4)
• (1/4, 2)
• (2, +∞)

Теперь протестируем каждый интервал, подставляя в произведение (х-2)(х+3)(8х-2) значения из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -3): возьмем х = -4
  • (-4 - 2)(-4 + 3)(8 * -4 - 2) = (-6)(-1)(-34) < 0
• Для интервала (-3, 1/4): возьмем х = 0
  • (0 - 2)(0 + 3)(8 * 0 - 2) = (-2)(3)(-2) > 0
• Для интервала (1/4, 2): возьмем х = 1
  • (1 - 2)(1 + 3)(8 * 1 - 2) = (-1)(4)(6) < 0
• Для интервала (2, +∞): возьмем х = 3
  • (3 - 2)(3 + 3)(8 * 3 - 2) = (1)(6)(22) > 0

Теперь мы знаем, при каких интервалах произведение меньше нуля:

• (-∞, -3)
• (1/4, 2)

Неравенство (х-2)(х+3)(8х-2) < 0 выполняется для интервалов:

х ∈ (-∞, -3) ∪ (1/4, 2)

Таким образом, решение неравенства: х < -3 или 1/4 < х < 2.