Как решить неравенство (х+5)(4х+1)(х-3) > 0?

Алгебра 8 класс Неравенства неравенство решение неравенства алгебра 8 класс (х+5)(4х+1)(х-3) > 0 методы решения неравенств Новый

Для решения неравенства (x + 5)(4x + 1)(x - 3) > 0, мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти нули функции

Сначала найдем корни (нули) каждого множителя. Это поможет нам определить, в каких точках функция меняет знак.

• x + 5 = 0 ⇒ x = -5
• 4x + 1 = 0 ⇒ 4x = -1 ⇒ x = -1/4
• x - 3 = 0 ⇒ x = 3

Шаг 2: Определить интервалы

Теперь, когда мы нашли корни, мы можем разделить числовую ось на интервалы:

• (-∞, -5)
• (-5, -1/4)
• (-1/4, 3)
• (3, +∞)

Шаг 3: Проверить знаки на каждом интервале

Теперь проверим знак выражения (x + 5)(4x + 1)(x - 3) в каждом из этих интервалов. Для этого мы можем выбрать любое число из каждого интервала и подставить его в выражение:

• Для интервала (-∞, -5), выберем x = -6:
  • (-6 + 5)(4(-6) + 1)(-6 - 3) = (-1)(-24 + 1)(-9) = (-1)(-23)(-9) = -207 (отрицательное)
• Для интервала (-5, -1/4), выберем x = -1:
  • (-1 + 5)(4(-1) + 1)(-1 - 3) = (4)(-4 + 1)(-4) = (4)(-3)(-4) = 48 (положительное)
• Для интервала (-1/4, 3), выберем x = 0:
  • (0 + 5)(4(0) + 1)(0 - 3) = (5)(1)(-3) = -15 (отрицательное)
• Для интервала (3, +∞), выберем x = 4:
  • (4 + 5)(4(4) + 1)(4 - 3) = (9)(16 + 1)(1) = (9)(17)(1) = 153 (положительное)

Шаг 4: Записать знак функции на интервалах

Теперь мы можем записать знак функции на каждом интервале:

• (-∞, -5): отрицательное
• (-5, -1/4): положительное
• (-1/4, 3): отрицательное
• (3, +∞): положительное

Шаг 5: Записать ответ

Неравенство (x + 5)(4x + 1)(x - 3) > 0 выполняется на интервалах, где функция положительна. Это происходит на интервалах:

• (-5, -1/4)
• (3, +∞)

Таким образом, окончательный ответ:

x ∈ (-5, -1/4) ∪ (3, +∞)