Как решить неравенство: (x^2 + 2x)(x^2 + 2x - 3) <= 40?

Алгебра 8 класс Неравенства решение неравенства алгебра 8 класс неравенства квадратные выражения математические задачи Новый

Для решения неравенства (x^2 + 2x)(x^2 + 2x - 3) > 0, начнем с того, что упростим его. Обозначим:

• y = x^2 + 2x.

Тогда наше неравенство можно переписать как:

• (y)(y - 3) > 0.

Теперь мы можем решить это неравенство. Для этого найдем корни уравнения:

• y = 0, что дает x^2 + 2x = 0.
• y - 3 = 0, что дает y = 3, а значит, x^2 + 2x - 3 = 0.

Решим первое уравнение:

• x(x + 2) = 0.
• Получаем корни: x = 0 и x = -2.

Теперь решим второе уравнение:

• x^2 + 2x - 3 = 0.
• Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

Дискриминант D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.

Корни уравнения:

• x1 = (-b + sqrt(D)) / 2a = (-2 + 4) / 2 = 1.
• x2 = (-b - sqrt(D)) / 2a = (-2 - 4) / 2 = -3.

Итак, мы нашли корни:

• x = -3, x = -2, x = 0, x = 1.

Теперь нам нужно определить знаки произведения (y)(y - 3) на интервалах, которые образуют найденные корни:

• Интервалы: (-∞, -3), (-3, -2), (-2, 0), (0, 1), (1, +∞).

Теперь проверим знак на каждом из этих интервалов:

1. Для x < -3, например, x = -4: (y)(y - 3) = (+)(+) > 0.
2. Для -3 < x < -2, например, x = -2.5: (y)(y - 3) = (-)(+) < 0.
3. Для -2 < x < 0, например, x = -1: (y)(y - 3) = (-)(-) > 0.
4. Для 0 < x < 1, например, x = 0.5: (y)(y - 3) = (+)(-) < 0.
5. Для x > 1, например, x = 2: (y)(y - 3) = (+)(+) > 0.

Теперь мы можем записать итоговые интервалы, где неравенство выполняется:

• (-∞, -3) U (-2, 0).
• (1, +∞).

Таким образом, решение неравенства (x^2 + 2x)(x^2 + 2x - 3) > 0 будет:

Ответ: (-∞, -3) U (-2, 0) U (1, +∞).