Чтобы решить неравенство x^3 - 81x >= 0 с помощью метода интервалов, следуем следующим шагам:

Для начала, преобразуем неравенство:

x^3 - 81x >= 0 можно записать как x(x^2 - 81) >= 0.

Теперь найдем корни уравнения x(x^2 - 81) = 0:

• Первый корень: x = 0.
• Второй корень: x^2 - 81 = 0, что дает x^2 = 81, а значит x = 9 и x = -9.

Теперь, имея корни x = -9, x = 0 и x = 9, мы можем разбить числовую ось на интервалы:

• (-∞, -9)
• (-9, 0)
• (0, 9)
• (9, +∞)

Теперь выберем тестовые точки из каждого интервала, чтобы определить знак выражения x(x^2 - 81) в этих интервалах:

• Для интервала (-∞, -9) возьмем тестовую точку x = -10:
• x(-10)((-10)^2 - 81) = -10(100 - 81) = -10 * 19 < 0.
• Для интервала (-9, 0) возьмем тестовую точку x = -1:
• x(-1)((-1)^2 - 81) = -1(1 - 81) = -1 * (-80) > 0.
• Для интервала (0, 9) возьмем тестовую точку x = 1:
• x(1)((1)^2 - 81) = 1(1 - 81) = 1 * (-80) < 0.
• Для интервала (9, +∞) возьмем тестовую точку x = 10:
• x(10)((10)^2 - 81) = 10(100 - 81) = 10 * 19 > 0.

Теперь мы можем записать знаки на каждом интервале:

• (-∞, -9): отрицательное
• (-9, 0): положительное
• (0, 9): отрицательное
• (9, +∞): положительное

Неравенство x(x^2 - 81) >= 0 выполняется в следующих интервалах:

• (-9, 0)
• (9, +∞)

Также не забудем включить корни, так как неравенство нестрогое (>= 0). Таким образом, x = -9, x = 0 и x = 9 также являются решениями.

Ответ: x ∈ [-9, 0] ∪ [9, +∞).