Как решить неравенство: x - 3x ^ { - 1} < 2?

Алгебра 8 класс Неравенства решение неравенства алгебра 8 класс неравенства с переменной x - 3x ^ {-1} < 2 методы решения неравенств Новый

Решим неравенство x - 3x ^ { - 1} < 2 шаг за шагом.

Первым делом, давайте перепишем неравенство в более удобной форме. Мы можем выразить x ^ { - 1} как 1/x:

• x - 3/x < 2

Теперь перенесем 2 в левую часть неравенства:

• x - 3/x - 2 < 0

Теперь объединим все члены в одну дробь:

• (x - 2) - 3/x < 0

Приведем к общему знаменателю, которым будет x:

• (x(x - 2) - 3) / x < 0

Раскроем скобки в числителе:

• (x^2 - 2x - 3) / x < 0

Теперь у нас есть дробь, и нам нужно найти, когда она меньше нуля. Для этого найдем корни числителя:

• x^2 - 2x - 3 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

• x = (2 ± √(2^2 - 4 * 1 * (-3))) / (2 * 1)
• x = (2 ± √(4 + 12)) / 2
• x = (2 ± √16) / 2
• x = (2 ± 4) / 2

Таким образом, получаем два корня:

• x1 = (2 + 4) / 2 = 3
• x2 = (2 - 4) / 2 = -1

Теперь у нас есть два корня: x = 3 и x = -1. Также нужно учитывать, что x не может быть равным нулю, так как это приведет к делению на ноль.

Теперь определим знаки дроби на интервалах, которые образуются корнями:

• Интервал 1: (-∞, -1)
• Интервал 2: (-1, 0)
• Интервал 3: (0, 3)
• Интервал 4: (3, +∞)

Теперь проверим знак дроби в каждом из интервалов:

1. Для x < -1, например, x = -2:
   • (-2^2 - 2*(-2) - 3) / (-2) = (4 + 4 - 3) / (-2) = 5 / (-2) < 0
2. Для -1 < x < 0, например, x = -0.5:
   • ((-0.5)^2 - 2*(-0.5) - 3) / (-0.5) = (0.25 + 1 - 3) / (-0.5) = -1.75 / (-0.5) > 0
3. Для 0 < x < 3, например, x = 1:
   • (1^2 - 2*1 - 3) / 1 = (1 - 2 - 3) / 1 = -4 / 1 < 0
4. Для x > 3, например, x = 4:
   • (4^2 - 2*4 - 3) / 4 = (16 - 8 - 3) / 4 = 5 / 4 > 0

Теперь мы можем записать промежутки, где дробь меньше нуля:

• (-∞, -1) и (0, 3)

Не забудьте, что x не может быть равным 0. Таким образом, окончательное решение неравенства:

• x < -1 или 0 < x < 3