Как решить неравенство (x-4)(x+2)(x-9) < 0, применяя метод интервалов?

Алгебра 8 класс Неравенства решение неравенства метод интервалов алгебра 8 класс неравенство (x-4)(x+2)(x-9) < 0 алгебра математические методы Новый

Решение неравенства (x-4)(x+2)(x-9) < 0 можно выполнить с помощью метода интервалов. Давайте разберем все шаги подробно.

Шаг 1: Найти корни неравенства

Сначала найдем значения x, при которых произведение (x-4)(x+2)(x-9) равно нулю. Для этого решим уравнение:

• x - 4 = 0 → x = 4
• x + 2 = 0 → x = -2
• x - 9 = 0 → x = 9

Таким образом, корни неравенства: x = -2, x = 4, x = 9.

Шаг 2: Определить интервалы

Теперь, когда мы знаем корни, можем разбить числовую ось на интервалы:

• (-∞, -2)
• (-2, 4)
• (4, 9)
• (9, +∞)

Шаг 3: Проверить знаки на каждом интервале

Теперь нам нужно выбрать тестовые точки из каждого интервала и подставить их в неравенство (x-4)(x+2)(x-9), чтобы определить знак произведения в каждом интервале.

1. Для интервала (-∞, -2): выберем точку x = -3.

(-3-4)(-3+2)(-3-9) = (-7)(-1)(-12) = -84 (меньше 0)

2. Для интервала (-2, 4): выберем точку x = 0.

(0-4)(0+2)(0-9) = (-4)(2)(-9) = 72 (больше 0)

3. Для интервала (4, 9): выберем точку x = 5.

(5-4)(5+2)(5-9) = (1)(7)(-4) = -28 (меньше 0)

4. Для интервала (9, +∞): выберем точку x = 10.

(10-4)(10+2)(10-9) = (6)(12)(1) = 72 (больше 0)

Шаг 4: Записать результаты

Теперь мы можем записать знаки для каждого интервала:

• (-∞, -2) → отрицательное
• (-2, 4) → положительное
• (4, 9) → отрицательное
• (9, +∞) → положительное

Шаг 5: Записать решение неравенства

Неравенство (x-4)(x+2)(x-9) < 0 выполняется в тех интервалах, где произведение отрицательно. Это происходит в следующих интервалах:

• (-∞, -2)
• (4, 9)

Таким образом, окончательное решение неравенства:

x ∈ (-∞, -2) ∪ (4, 9)