Как решить систему уравнений: x в квадрате плюс y в квадрате равно 41 и xy равно 20?

Алгебра 8 класс Системы уравнений алгебра 8 класс система уравнений решить систему уравнения X в квадрате y в квадрате равно 41 xy равно 20 математические задачи Квадратные уравнения решение уравнений Новый

Чтобы решить систему уравнений, где первое уравнение: x в квадрате плюс y в квадрате равно 41, и второе уравнение: xy равно 20, мы начнем с того, что выразим одну переменную через другую.

Из второго уравнения мы можем выразить y через x:

• y = 20/x

Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение:

• x² + (20/x)² = 41

Теперь упростим вторую часть уравнения:

• (20/x)² = 400/x²

Подставляем это обратно в первое уравнение:

• x² + 400/x² = 41

Чтобы избавиться от дроби, умножим все уравнение на x² (при условии, что x не равен 0):

• x² * x² + 400 = 41 * x²

Это даст нам:

• x⁴ + 400 - 41x² = 0

Теперь у нас есть четвертое степень уравнения. Для удобства введем новую переменную:

• a = x²

Теперь перепишем уравнение в терминах a:

• a² - 41a + 400 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-41)² - 4 * 1 * 400 = 1681 - 1600 = 81

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:

• a₁ = (41 + 9) / 2 = 25
• a₂ = (41 - 9) / 2 = 16

Теперь вернемся к переменной x, подставив a обратно:

• x² = 25 → x = ±5
• x² = 16 → x = ±4

Теперь, когда мы нашли значения x, подставим их обратно в уравнение y = 20/x, чтобы найти соответствующие значения y:

• Если x = 5, то y = 20/5 = 4
• Если x = -5, то y = 20/(-5) = -4
• Если x = 4, то y = 20/4 = 5
• Если x = -4, то y = 20/(-4) = -5

Таким образом, мы находим все возможные решения системы:

• (5, 4)
• (-5, -4)
• (4, 5)
• (-4, -5)

Эти пары (x, y) являются решениями данной системы уравнений.